Producto interior espacio dos subespacios pregunta de comprobación

Question

La pregunta es la siguiente:

Sea $V$ sea un espacio producto interior de dimensión $n$ y que $U$ y $W$ ser dos $m$ -subespacios dimensionales de $V$ . Supongamos que existe algún vector distinto de cero $v$ en $U$ , que $v$ es ortogonal a $W$ . (es decir $\langle v,w\rangle =0$ para todos $w$ en $W$ ) Demostrar que $w$ es ortogonal a $U$ para algún $w$ en $W$ .

Así que me dieron una pista que ayuda a fijar una base $B$ y $A$ para $V$ y $W$ a $v$ como una combinación lineal de la misma. A continuación, explorar lo que significa para $v$ sea perpendicular a cada vector en $W$ .

Esto es lo que he hecho hasta ahora: Que $B= \{b_1,...,b_m\}$ y $A = \{a_1,...,a_m\}$ ser la base de $U$ y $W$ . Encontré un $m\times m$ matriz $M = [\langle b_i,a_j\rangle]$ tal que $\langle v,w \rangle = [w]_A M [v]_B = 0$ para cualquier $w$ Así que $[v]_B$ está en el espacio nulo de $M$ . A partir de aquí, no sé cómo seguir.

¿Alguien puede hacer una sugerencia? Gracias, y perdón por la notación desordenada.

Answer 1

Queremos demostrar que $W \cap U^\perp$ no es trivial. Tenemos \begin{align} \dim(W \cap U^\perp) &= \dim V - \dim\big((W \cap U^\perp)^\perp\big) \\ &= \dim V - \dim (W^\perp + U) \\ &= \dim V - \dim (W^\perp) - \dim U + \dim(W^\perp \cap U)\\ &\ge \dim W - \dim U + 1\\ &= 1 \end{align}

desde $v \in W^\perp \cap U$ , $v \ne 0$ así que $\dim(W^\perp \cap U) \ge 1$ .

Concluimos $\dim(W\cap U^\perp) \ge 1$ por lo que existe $w \in W \cap U^\perp$ , $w \ne 0$ .