prueba de que $\frac{a_{4n}-a_2}{a_{2n+1}}$ : entero

Question

Agradecería que alguien me ayudara con el siguiente problema:

P: ¿Cómo se prueba?

Si $\{a_n\}$ satisfacer $a_{1}=a$ , $a_2=b$ , $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ( $a,b$ : números enteros positivos)

entonces la prueba de que $\frac{a_{4n}-a_2}{a_{2n+1}}$ : entero

Intento empezar por inducción matemática pero...., encontrar $f(n)=\frac{a_{4n}-a_2}{a_{2n+1}}$ $f(1)=1$ , $f(2)=4$ , $f(3)=11$ , $f(4)=29$ ,...

Answer 1

Es fácil demostrar por inducción que $a_n=aF_{n-2}+bF_{n-1}$ , donde $F_k$ son los números de Fibonacci. Quiero demostrar que $\frac{a_{4n}-a_2}{a_{2n+1}}=F_{2n-2}+F_{2n}$ . Por lo tanto, debemos demostrar que $$aF_{4n-2}+bF_{4n-1}-b=(aF_{2n-1}+bF_{2n})(F_{2n-2}+F_{2n})$$ Por lo tanto, tenemos que demostrar que $F_{4n-2}=F_{2n-1}(F_{2n-2}+F_{2n})$ y $F_{4n-1}-1=F_{2n}(F_{2n-2}+F_{2n})$ Estas dos igualdades se demuestran fácilmente con fórmulas bien conocidas de Wikipedia.

Answer 2

Pistas. Dejemos que $\phi$ y $\psi$ sean las dos raíces de $x^2-x-1=0$ . Como toda secuencia de Fibonacci es una combinación lineal de las progresiones geométricas de $\phi$ y $\psi$ si definimos $$ f_n(x)=\frac{x^{4n}-x^2}{x^{2n+1}}=x^{2n-1}-\frac{1}{x^{2n-1}}, $$ basta con demostrar que $f_n(\phi)$ es un número entero y $f_n(\phi)=f_n(\psi)$ para cada $n$ . Si se quiere utilizar la inducción matemática, puede ser necesario demostrar, para cada $n$ que $f_n(\phi)=f_n(\psi)\in\mathbb N$ y $g_n(\phi)=g_n(\psi)\in\mathbb N$ , donde $$ g_n(x)=x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}. $$

Answer 3

$R=\frac{a_{4n}-a_2}{a_{2n+1}}$

$a_1=a$

$a_2=b$

$a_3=a+b$

$a_4=a+2b$

$a_5=2a+3b$

$a_6=3a+5b$

$a_7=5a+8b$

$a_8=8a+13b$

Para n=2 tenemos:

$\frac{8a+13b-b}{2a+3b}=4$

Por inducción experimental si R es verdadera para n=2 también debe serlo para n+1=3, lo comprobamos:

$\frac{a_{12}-b}{a_7}=\frac{55a+89b-b}{5a+8b}=11$

Esto es cierto para cualquier valor de a y b, por ejemplo $a_{12}=65$ para a=0, b=1 y n=3 :

$\frac{65-1}{8}=8$