Norma de operador del operador de semigrupo.

Question

Deje que $P_{t}$ sea un operador autoadjunto tal que $P_{t+s}=P_{t}P_{s}$ . Quiero mostrar que $$\|P_{t}\|_{1\to \infty}\leq \|P_{t/2}\|_{1\to 2}\|P_{t/2}\|_{2\to \infty}.$ $ Por eso, estoy tratando de demostrar que $$\|P_{t}f\|_{\infty}\leq \|P_{t/2}\|_{1\to 2}\|P_{t/2}\|_{2\to \infty}\|f\|_{1}$ $ usando eso
$$\|P_{t}f\|_{\infty}=\sup_{g}\frac{(P_{t}f, g)}{\|g\|_{1}}=\sup_{g}\frac{(P_{t/2}f, P_{t/2}g)}{\|g\|_{1}},$ $ pero luego estoy atascado. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\|Ax\|_{q} \leq \|A\|_{p \to q}\|x\|_p$ . Por lo tanto, $$ \ | P_tf \ | _ \ infty = \ | P_ {t / 2} (P_ {t / 2} f) \ | _ \ infty \\ \ leq \ | P_ {t / 2} \ | _ {2 \ to \ infty} \ | P_ {t / 2} f \ | _2 \\ \ leq \ | P_ {t / 2} \ | _ {2 \ to \ infty} \ | P_ {t / 2} \ | _ {1 \ a 2} \ | f \ | _1 $$