Deje que$f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ sea de la clase$C^{1}$. Demuestre que$f$ no es inyectivo.

Question

Deje $f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ ser de clase $C^{1}$. Mostrar que $f$ no es inyectiva.

Bueno, sé que $f$ es inyectiva cuando $f(x) = f(y)$ implica $x = y$. Desde $f$ es de clase $C^{1}$ entonces $f$ es diferenciable en $\mathbb{R}^{2}$ tal que su derivada es continua. No puedo entender a cabo las ideas. Esta pregunta parece sugerir la existencia de un contraejemplo, pero ninguno está trabajando. Gracias por la ayuda!

Answer 1

De hecho, todo lo que necesita es que $f$ es continua. Considere dos caminos de $(-1,0)$ a $(1,0)$, dicen que la mitad superior e inferior del círculo unitario. Por el teorema del valor intermedio, por cualquier $y$ entre $f(-1,0)$ e $f(1,0)$ hay un punto en cada ruta de acceso donde se $f$ tiene el valor de $y$. Por lo tanto, $f$ no puede ser inyectiva.

Answer 2

He aquí un boceto:

Si $Df(x,y)=0$ para todos los $(x,y)\in\mathbb{R}^2,$ a continuación, hemos terminado. Así, supongamos que en lugar de que exista $(a,b)$ , de modo que $Df(a,b)\neq 0,$ y supongamos, WLOG, que $D_1f(a,b)\neq 0.$ Uso la continuidad de $D_1 f$ para conseguir que no es cero durante un vecindario $U$ de $(a,b).$ Ahora, definir $g(x,y)=(f(x,y),y)$ de $U$ a $\mathbb{R}^2.$ Se puede aplicar el teorema de la función inversa (marque este) para conseguir abrir conjuntos de $V$ contiene $(a,b)$ e $W$ contiene $g(a,b)$ , de modo que $g:V\rightarrow W$ es un bijective con $C^1$ inversa. Desde $W$ está abierto, usted puede encontrar $t\neq b$ , de modo que $(f(a,b),t)\in W.$ Si dejamos $(c,d)=g^{-1}(f(a,b),t),$ entonces podemos ver que $$(f(a,b),t)=g(c,d)\neq g(a,b)=(f(a,b),b),$$ which implies that $(c,d)\neq (a,b).$ However, $$(f(a,b),t)=g(c,d)=(f(c,d),d),$$ so we must have that $f(c,d)=f(a,b)$. Thus, $f$ no es inyectiva.