Una "prueba" para$0=1$ al integrar$\int \frac{dx}{x\ln x}$ por partes

Question

Consideremos la integral indefinida $$\int \frac{dx}{x\ln x}.$$ Vamos a calcular por integración por partes: $$\int \frac{dx}{x\ln x}=\int (\ln x)'\frac{dx}{\ln x}=1+\int \frac{dx}{x\ln x}.$$ Por lo tanto, $0=1$. La pregunta es : ¿hay algo malo en estos cálculos?

Nota: me encontré con este ejemplo, mientras que la lectura de un libro sobre los contraejemplos de análisis real. Yo pensaba que la gente de aquí, sería divertido, especialmente porque el error no es tan obvio para todos.

Answer 1

La cuestión aquí es qué es una integral indefinida significa. Una integral indefinida $\int f(x)dx$ no es una sola función; por el contrario, es mejor considerar como un conjunto de funciones, a saber, el conjunto de $$\{F: {d\over dx}F=f\}.$$ Elements of this set are called antiderivatives, or primitives, of $f$.

Este conjunto siempre contienen más de un elemento, ya que la adición de una constante no afecta a la derivada. La notación como $$\int xdx={x^2\over 2}+C$$ is shorthand for "$\int xdx$ is the set of functions of the form $x\mapsto {x^2\over 2}+C$ for some $C\in\mathbb{R}$."

Así que no, su observación no implica que cero es igual a uno.

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Tenga en cuenta que no siempre el caso de que dos antiderivatives siempre debe difieren por una constante: si el dominio de la función es "no conectado" tenemos más opciones. E. g. considere la función $f:x\mapsto {1\over x}$, definido en $\mathbb{R}-\{0\}$, tiene dos "piezas", que puede comportarse de manera muy diferente: la función de $F$ envío de $x<0$ a $\ln(\vert x\vert) + 42$ e $x>0$ a $\ln( x) -17$ es una antiderivada de $f$, a pesar de que no se diferencian de la "costumbre" antiderivada $x\mapsto\ln(\vert x\vert)$ por una constante.