¿Qué es exactamente la topología?

Question

Por lo que estuve leyendo esto, acerca de la aplicación práctica de la topología.

Quería preguntarle ¿qué es exactamente en que---como sujeto de lo que se estudia en este campo.

He visto videos en donde ellos simplificar en exceso nos dicen que en la topología, que apretar y estirar, pero no cortar, o cómo un donut y una taza es equivalente. (Creo que debe ser como la simplificación de cálculo y diciendo que es sólo fantasía, además.)

Cómo ayuda en matemáticas, porque es estudiado como un completo curso, debe tener sus ventajas y se utiliza demasiado.... [ También teniendo en cuenta que hay muchas etiquetas en virtud de este tema SE ] ??

(Todavía estoy en la escuela secundaria, así que no tengo mucha información, pero me considero una curiosidad matemática entusiasta)

Answer 1

Básicamente, la topología es de unos bloques abiertos.

Puede sonar tonto, pero, como resulta, por ejemplo, en el punto de set-topología se considera una herramienta indispensable para cualquier trabajo matemático.

Mientras que cada matemático debe saber lo básico, topología general es un tema apasionante en su propio derecho. Se sube y sube, como la homotopy grupos considero uno de sus mejores temas. Hay topología algebraica y diferencial, topología, a nombre de una pareja de avanzada variantes.

A veces topología se denomina "hoja de goma de la geometría". Dos espacios que pueden ser doblado o estirado, sin que se rompa, una en otra, se consideran la misma, o "isomorfo" (en realidad "homeomórficos").

Geometría y topología de tener varias conexiones y se superpone. Por ejemplo, Thurston de la Conjetura de Geometrización, por la que fue galardonado con la medalla Fields en 1982.

O, la conjetura de Poincaré, que Perelman obtuvo el mismo galardón para obtener más recientemente (Smale hizo en dimensiones inferiores, creo que, en la década de $60$'s, y también se hizo con el premio. Pero una historia que va alrededor de Berkeley fue que hubo un error en Smale de la solución, y que Stallings lo había hecho correctamente.

En pocas palabras, fue uno de los grandes problemas sin resolver durante mucho tiempo, y dijo que "no hay ninguna homología de las esferas". La homología es otra noción importante en la topología/geometría.

Answer 2

Como topologist y el nudo teórico, quiero dar una imagen más orientado a la respuesta. Creo que de un buen problema clásico en la topología geométrica es la clasificación de las superficies. Lo que te dice exactamente lo que cada 2 dimensiones del colector (o superficie) es, y cómo distinguirlos. Usted realmente no necesita saber lo que es, las fotos son mejores en la retransmisión de la idea. Todas estas imágenes vienen de esta página en la wikipedia sobre género $g$ superficies. De las cuatro imágenes, sólo hay tres superficies. Solo en el conteo de los "agujeros".

En cierto sentido, es más fácil decir lo que la superficie que tiene por algo que se llama la Característica de Euler. Voy a dejar de mirar por que en su tiempo libre.

La siguiente cosa que quería compartir la idea de nudo de la teoría, que cae bajo el paraguas de la topología. A diferencia de las superficies, en general es muy difícil saber si dos nudos son el mismo o no. Pensar acerca de un cable de extensión conectado, atado y conectados en sí mismo. Se puede desenredar sin desconectarlo? Aquí hay una tabla de los primeros nudos.

Realmente un buen programa por Robert Scharein se llama KnotPlot y permite que usted vea cómo nudos puede ser deformado y movió a punto de cambiar la forma de mirar y (con suerte) simplificado. Usted puede descargar de forma gratuita y jugar. Un pequeño demo que tienen es adivinar el nudo que presentan, unknot o trébol. Esto no es fácil! En este caso, pasa a ser el trébol, que es $3_1$ en la tabla. A continuación, intente imaginar si tuviera un nudo con 100 cruces. Es básicamente imposible estar seguro de lo que usted está buscando! Nudo teoría se trata de encontrar maneras de ayudarnos a responder a estas preguntas, sin tener que dejar KnotPlot wiggle ellos alrededor y simplificar para nosotros. Espero que esto ayuda a dar una idea de lo que algunos topologists pensar.

Answer 3

Topología, en el sentido y significado que usted se refiere, se puede considerar como el estudio de algunos procesos continuos y de lo que es y lo que no lo es cambiado por ellos.

Por ejemplo, el cubo y la pelota en algunos sentidos equivalente y en algunos de ellos no lo son. Pueden ser considerados como equivalentes con respecto a la dimensión (usted puede convertir algunas de pelota en cualquier de cubo y de algunos cubo en cualquier pelota de forma continua y la dimensión no es cambiado por el proceso).

Sin embargo, usted puede estirar algunos pequeños cubos en tan grande como tú quieras cubo para volumen cambia con algunos procesos continuos.

El "lo que ha cambiado" por procesos continuos y "lo que no es" es importante en la topología.

Además, el continuo de los procesos también son importantes en sí mismos.

Como un ejemplo fácil, no es posible recurrir continuamente una bola en dos bolas que no se tocan y no se cruzan el uno al otro, discontinuo y los procesos son, en gran parte, no la parte de la norma de la topología.

Answer 4

Para entender lo que la topología es, quizá, es útil mirar un par de ejemplos concretos.

Por ejemplo, tome el conjunto $\mathbb R$ de los números reales, las dos dimensiones conjunto de $\mathbb R^2$, y el conjunto de no-números enteros, $\mathbb R\setminus\mathbb Z$.

Ahora bien, si miramos sólo con el ojo de la teoría de conjuntos, que son prácticamente los mismos: los tres tienen el mismo número de elementos, y usted puede tomar fácilmente bijections entre cualquiera de ellos.

Sin embargo sabemos que los tres grupos son muy diferentes uno de otro. El conjunto de no-números enteros tiene infinitamente muchas "lagunas" en ella, y $\mathbb R^2$ es de una dimensión completamente diferente.

Si se mira de cerca, la razón por la pura teoría de conjuntos no "ver" la diferencia es que la teoría de conjuntos se ve en los elementos "en aislamiento". Pero los tres grupos difieren en la forma en que esos puntos están relacionados unos con otros. Es decir, hay más estructura en la que sólo los conjuntos.

Ahora usted puede pensar que el extra de estructura podría ser la distancia, o como se llama en matemáticas, la métrica, y no ser del todo malo, porque la métrica de hecho correcciones de esas cosas. Pero en un sentido, ya que nos dice más de lo que necesitamos. Por ejemplo, en el caso de $\mathbb R\setminus\mathbb Z$, la métrica nos indica que la mitad de los números enteros son muy especiales porque se encuentran exactamente en el medio de las diferencias. Pero por el carácter de los puntos que es completamente irrelevante; los alrededores de un punto ligeramente a la izquierda o ligeramente a la derecha de la que realmente no se ven diferentes.

Otro concepto relacionado es el de una función continua, es decir, intuitivamente, una función en la que suficiente pequeño error en la entrada de no hacer una gran diferencia en el resultado. De nuevo, la métrica, la realidad nos da demasiada información, ya que estamos (en este punto) no se interesan realmente en cuánto cambia, sólo que este cambio puede ser hecho arbitrario pequeño.

Topología de ahora es la mínima estructura adicional, tienen que añadir un conjunto para hacer sentido de todos estos conceptos. El fundamental concepto adicional es el conjunto abierto, que a grandes rasgos es un conjunto donde lo suficientemente pequeño error de no salir del conjunto. Esto da una noción básica de "proximidad", sin la necesidad de cuantificar esa cercanía.