El complemento de un trébol ha llamado $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$ geometría, de acuerdo a la clasificación de Thurston, ya que uno puede mostrar que $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ es diffeomorphic a un trébol de complemento. La preimagen de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ en la universalización de la cobertura $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$ es conocido como $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})}$, y la geometría de el trébol complementar viene desde el espacio cociente $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}/\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})}$. Dado que ambos grupos contienen la normal subgrupo $\{\pm I\}$, estos coeficientes son los mismos como el cociente del espacio de $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})/\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$. También debe señalarse que desde $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$ simplemente se conecta y $\widetilde{\mathrm{S}_2(\mathbb{Z})}$ no tiene torsión, el fundametal grupo de un trébol complemento es $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})}$, que es también conocida como las tres vertientes de la trenza de grupo.
Trébol nudos, siendo toro nudos, son Seifert fibrado espacios, que no son hiperbólico---sin embargo, $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ fibras de más de $\mathbb{H}^2$ por tener que actuar en la mitad superior del plano por las transformaciones de Möbius, por lo que es una especie de (pero no toda) $\mathbb{H}^2\times \mathbb{R}$ geometría. Para un orientable irreductible $3$-colector con una infinita grupo fundamental (como el trébol complemento), el caso es que tiene un trivial cíclica normal subgrupo si y sólo si es un Seifert fibrado espacio. La forma cíclica normal subgrupo surge es como el núcleo de un mapa de $\pi_1(M)\twoheadrightarrow\pi_1^{\mathrm{orb}}(B)$, donde $M$ es el Seifered fibrado espacio, $B$ es la "base de orbifold" desde el colapso de cada fibra hasta un punto, y $\pi_1^{\mathrm{orb}}$ denota la orbifold grupo fundamental. Recordemos que $\pi_1(M)$ actúa en su cobertura universal $\widetilde{M}$ por la cubierta de transformaciones. Si $M$ es Seifert fibrado, a continuación, $\widetilde{M}$ tiene un inducido fibration por líneas y círculos, y la cubierta de transformaciones llevar a que las fibras las fibras, y por lo tanto $\pi_1(M)$ actúa sobre la base de orbifold $\widetilde{B}$, que es el cociente de $\widetilde{M}$ por el colapso de las fibras de los puntos. El grupo $\pi_1^{\mathrm{orb}}(B)$ actúa en $\widetilde{B}$ por el orbifold equivalente de la cubierta de transformaciones, por lo que tenemos un homomorphism $\pi_1(M)\to \pi_1^{\mathrm{orb}}(B)$. Resulta que este mapa es surjective con una infinita núcleo cíclico generado por cualquier expectional de fibra de $M$.
Un tipo especial de subgrupo normal es el centro, y de hecho cada nudo complementar cuyo grupo fundamental tiene un trivial centro es un toro nudo. De manera más general, en el caso de que el núcleo de el mapa de arriba siendo infinito cíclico, es central, si y sólo si $B$ es orientable. (Toro nudos son los únicos nudos con un Seifert fibrado complemento, y cada uno tiene un orientable base de orbifold.)
En el caso de $M$ siendo el trébol se complementan con el estándar Seifert fibration con dos excepcionales fibras, $B$ es un orbifold que es un disco con dos puntos singulares de las órdenes de $2$ e $3$, lo que se conoce como "$(2,3,\infty)$ la cifra de negocios." Esta es exactamente la orbifold cociente $\mathbb{H}^2/\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ (cuyos fundamental de dominio en $\mathbb{H}^2$ es la foto en la portada de La Topología de los Números; el orbifold puntos provienen de la orden-$2$ simetría alrededor de los bordes y el orden-$3$ simetría acerca de los centros de los triángulos). Desde $\mathbb{H}^2$ es de $\pi_1^{\mathrm{orb}}(B)\cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$, por lo tanto el mapa de $\pi_1(M)\twoheadrightarrow\pi_1^{\mathrm{orb}}(B)$ es $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})} \twoheadrightarrow \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$. Para recordarnos a nosotros mismos lo que este mapa, considere el diagrama conmutativo de corto exacta de las secuencias de
$\require{AMScd}$
\begin{CD}
0 @>>> \mathbb{Z} @>>>\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})} @>>> \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) @>>> 0\\
@. @| @VVV @VVV @. \\
0 @>>> \mathbb{Z} @>>>\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})} @>>> \mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) @>>> 0
\end{CD}
La fila inferior es la universalización de la cobertura de $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$, cuyo núcleo es $\mathbb{Z}$ desde $\pi_1(\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}))=\mathbb{Z}$. Todas las verticales de los mapas son inclusiones, y la parte superior de la secuencia se corta exacta por la construcción (es un pullback). El $\mathbb{Z}$ en la parte superior izquierda es el centro de la $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})}$ básicamente por el argumento que dan en su pregunta (también visto en Hatcher Topología Algebraica, por Ejemplo 1.24), pero también se puede decir algo acerca de pullbacks y la clasificación central de extensiones.
Una cosa que usted puede tomar de esto es que el espacio de $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$ es un espacio natural en el que incrustar un grafo de Cayley de $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})}$. El grupo $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})}$, siendo un subgrupo, que actúa en $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$ por multiplicación, por lo que también actúa sobre la incrustación del grafo de Cayley. (Hatcher Ejemplo 1.25 da una explicación de la Cayley mismo gráfico.) El $\mathbb{Z}$ "eje" de $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$ se extiende una línea geodésica $L$, y la imagen de $L$ en $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ es $\mathrm{PSO}_2(\mathbb{R})$. Por lo tanto, el colapso de la cobertura universal en el $L$ dirección (es decir, tomando el espacio de $\{gL:g\in \widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}\}$) le da al espacio $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})/\mathrm{PSO}_2(\mathbb{R})$, que es $\mathbb{H}^2$. Desde
$$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\cap \mathrm{LO}_2({\mathbb{R}}) = \left\{
\begin{bmatrix}\pm 1 & 0\\0&\pm 1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0 & \pm 1\\\mp 1 & 0\end{bmatrix}
\right\},$$
la imagen de $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ en $\mathbb{H}^2$ es casi un grafo de Cayley, excepto por el hecho de que el fin-$2$ bucles de colapso, como se ve en el siguiente gráfico:
![collapsed Cayley graph]()
Aún así, el grupo de simetría de la gráfica resultante en $\mathbb{H}^2$ es $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$. Es posible hacer una gráfica con esta propiedad con menos bordes mediante la colocación de un solo vértice en el centro de cada triángulo, a continuación, conectar con ellos por un unorienteded borde a lo largo de cada borde del triángulo---es decir, tomar gráfico que es dual a la triangulación.
En 1914, Max Dehn mostró que el trébol de los nudos son quirales. Lo que básicamente hice fue buscar en el exterior automorphism grupo de el grupo fundamental de un nudo de trébol mediante el análisis de lo que un homomorphism haría para el grafo de Cayley. Uno de los pasos fue cociente a cabo por el centro y analizar exterior de automorfismos de $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ mirando lo que iba a hacer al anterior tipo de gráfico en $\mathbb{H}^2$, utilizando la geometría hiperbólica. (Curiosamente, él no hizo uso de una incrustación en $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$, sino más bien una integración en $\mathbb{H}^2\times \mathbb{R}$. Al parecer no compacta colectores tienen una ambigüedad para que la geometría tiene. El trébol complemento también tiene un $\mathbb{H}^2\times \mathbb{R}$ geometría, y cuando Dehn considera el aplanado de Cayley gráfico en $\mathbb{H}^2$, es el uso de la evidente proyección.)
Ver https://math.stackexchange.com/a/2511821/172988 para un resumen y referencias.
