Encuentra el radio del aro.

Question

Un aro está apoyado verticalmente en la escalera como se muestra en el diagrama. AB = 12 cm y BC = 8 cm. Encuentra el radio del aro.

Creo que se puede utilizar el Teorema de Pitágoras para resolver la pregunta.

Answer 1

¿Puedes llevarlo desde aquí? (Intenta usar el teorema de Pitágoras)

Ignora los números por debajo de la línea horizontal (eje X) . Son básicamente las coordenadas del eje X de la página de GeoGebra.

Answer 2

(No voy a hacer un dibujo, así que marca las construcciones adicionales en el diagrama por ti mismo, si es necesario).

Dejemos que $O$ sea el centro del círculo. Dibuja un segmento de línea radial desde $O$ à $A$ y observe que este segmento de línea es perpendicular a $AB$ , como $AB$ es tangente al círculo.

Ahora, extiende una línea paralela a $AB$ , pasando por $C$ . Es decir, esta línea pasará por la escalera superior. Deberá intersecar $OA$ en un punto, llámalo $D$ . Desde $CD$ es paralelo a $AB$ también será perpendicular a $OA$ y, en particular, el ángulo $CDO$ es un ángulo recto.

Esto hace que $CDO$ un triángulo rectángulo, con hipotenusa $OC$ . Tenga en cuenta que $OC$ es también un radio del círculo.

Dado $DCBA$ es un rectángulo, se deduce que $|DC| = |BA| = 12$ . También, $$|OA| = |OD| + |DA| = |OD| + |BC| = |OD| + 8$$ Desde $OA$ es un radio, tenemos además $|OC| = |OA|$ Así que $$|OD| = |OC| - 8.$$ Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo $CDO$ Por lo tanto, obtenemos, $$|OC|^2 = |OD|^2 + |DC|^2 = (|OC| - 8)^2 + 12^2.$$ Ampliando, $$|OC|^2 = |OC|^2 - 16|OC| + 208 \implies 16|OC| = 208 \implies |OC| = 13.$$ Como $OC$ es un radio del círculo, el radio es $13$ .

Answer 3

Alternativa a @mathysics, , dado $AB = 12 cm, BC = 8 cm \Rightarrow AC = 2 \sqrt{52} cm$ Dejemos que $\angle CAB = \alpha$ , $$\Rightarrow \cos(90 - \alpha) = \cfrac{r^2 + 208 - r^2}{2r (2 \sqrt{52})}$$ $$\Rightarrow \sin \alpha = \cfrac{\sqrt{52}}{r}$$ $$\Rightarrow \cfrac{8}{2\sqrt{52}} = \cfrac{\sqrt{52}}{r}$$ $$\Rightarrow r = 13 cm$$

Answer 4

El teorema de Pitágoras implica que $AC=4\sqrt{13}$ . Además, $\angle BAC=\arctan{\frac{2}{3}}$ . Sea $O$ sea el centro del aro. Como $\angle OAB=\angle OAC+\angle BAC=\frac{\pi}{2}$ Debemos tener $\angle OAC=\frac{\pi}{2}-\arctan{\frac{2}{3}}$ . Además, $\triangle OAC$ es isósceles por lo que $\angle AOC=2\arctan{\frac{2}{3}}$ . Podemos terminar con la ley de los senos en $\triangle OAC$ : $$\frac{\sin{\left(2\arctan{\frac{2}{3}}\right)}}{4\sqrt{13}}=\frac{\cos{\arctan{\frac{2}{3}}}}{R}$$ Si se resuelve esto, se obtiene $\boxed{R=13}$ .

Answer 5

No necesitas trigonometría. A partir de la respuesta de tatán aplica Pitágoras al triángulo AEG.

$r^2 = (r-8)^2 + 12^2$

que inmediatamente le da $16r=208$ Así que $r=13$ .