Cálculo, agua vertida en un cono: ¿Por qué el derivado no es lineal?

Question

Si el agua se vierte en un cono a una tasa constante y si $\frac {dh}{dt}$ es la tasa de cambio de la profundidad del agua, entiendo que $\frac {dh}{dt}$ está disminuyendo. Sin embargo, no entiendo por qué la $\frac {dh}{dt}$ es no-lineal. Porqué no puede ser lineal?

NO estoy preguntando si o no a la altura de la función es lineal. Muchos me están diciendo que el derivado de la altura no es una constante, entonces por lo tanto la altura de la función no es lineal, pero esto no es lo que estoy pidiendo.

Este es mi error, porque tuve que usar $h(t)$ originalmente para denotar la derivada de altura que es lo que mi libro usado. Más bien estoy preguntando si $\frac {dh}{dt}$ es lineal o no y por qué. Sería bueno que si alguien puede explicar mejor lo que mi libro me está diciendo:

En cada instante la porción del cono de agua que contiene es similar a la totalidad de cono; el volumen es proporcional al cubo de la profundidad del agua. La tasa de cambio de la profundidad (la derivada) es, por tanto, no lineal.

Answer 1

Entiendo que $\frac {dh}{dt}$ está disminuyendo. Sin embargo, no entiendo a nivel intuitivo por qué $\frac {dh}{dt}$ no es lineal.

Debido a que cualquier función estrictamente decreciente que es lineal eventualmente se vuelve negativa, pero ya sabe que $\frac {dh}{dt}$ siempre es positivo.

Answer 2

El volumen de agua está cambiando linealmente, pero la altura y el volumen están relacionados no linealmente. Es por eso que $h(t)$ no es lineal.

\begin{eqnarray*} V &=& \frac{1}{3} \pi r^2 h\\ r &=& h \tan \theta\\ V &=& \frac{1}{3} \pi \tan^2 \theta h^3\\ \frac{dV}{dt} &=& \frac{1}{3} \pi \tan^2 \theta 3 h^2 \frac{dh}{dt}\\ \end {eqnarray *}

$\frac{dV}{dt}$ es una constante porque la tasa de llenado constante. Entonces, puedes ver en la ecuación anterior que $\frac{dh}{dt}$ no es constante.

Answer 3

La parte superior del radio $r$ del cono es proporcional a $h$: Tenemos $r(t)=c\>h(t)$ para algunas constantes $c$. Por lo tanto, $V(t)=c\> h^3(t)$ con algunos otros $c$o $h(t)=c\> V^{1/3}(t)$. Esto implica $${dh\over dt}=c\> V^{-2/3}(t) V'(t)=c\> V^{-2/3}(t)\ ,$$ since $V'(t)$ is constant. Now $t\mapsto V(t)$ is linear; hence $t\mapsto V^{-2/3}(t)$ es una "función de raíz", y no lineal.

Answer 4

Imagínese rebanar el cono en secciones transversales circulares. Estas secciones se hacen más grandes a medida que avanza hasta el cono. Vamos a pensar en dos secciones, en particular: un sector que abarca entre 1 cm y 1.01 cm de la parte inferior, y otro sector que abarca entre 5 cm y 5.01 cm de la parte inferior. Ya que el mayor "tajada" tiene un volumen mayor, y el agua está entrando en el cono a una tasa constante de volumen por el tiempo, que debe haber tenido más tiempo para que el agua suba de 5 cm a 5.01 cm que tomó para que el agua suba desde 1 cm a 1.01 cm. Por lo tanto, $dh/dt$ (la tasa a la cual el agua está subiendo) está disminuyendo como $h$ aumenta.

Answer 5

Usted puede escribir el volumen del cono $V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot \left(h\tan\theta\right)^2\cdot h $. Aquí, estamos escribiendo $r =h\cdot\tan(\theta)$.

Regresando a su pregunta, el radio aumenta con un exponente de 2 y en todo el volumen aumenta con la altura en cubos. Por intuición se puede decir que la altura debe ser variable con la $t^{1/3}$ a fin de equilibrar las cosas ya que la tasa de agua que se llena es constante.

También puede funcionar como $h(t) = At^{1/3} + C$ ; $A = (3k/\pi)^{1/3}$, $k = $ tasa de cambio de vol. y $C$ es arbitrario constante .