Sophie Germain enfoque para el primer caso del Último Teorema de Fermat se puede encontrar en varios libros de texto que tratan el Último Teorema de Fermat. Por ejemplo, una muy buena referencia para ella es el teorema de Kenneth Irlanda y Michael Rosen hermoso libro Un Clásico de Introducción a la Moderna Teoría de números. Allí, el teorema queda demostrado en apenas alrededor de una página en el Capítulo 17, sección 4, que en realidad es titulado "Sophie Germain Teorema".
Para agregar algo a mi comentario permítanme mencionar una generalización de Sophie Germain del teorema que fue encontrado por Ernst Wendt.
Teorema (Wendt)
Deje $p$ ser un extraño prime. Si existe un entero $k \geq 1$ de manera tal que el número de $q := kp + 1$ es también el primer y satisface
$$
q \no \mid (k^k - 1)\operatorname{Res}{(X^k - 1, (X + 1)^k - 1)}
$$
a continuación, el primer caso del Último Teorema de Fermat es cierto para el exponente $p$, es decir, que no hay soluciones a $x^p + y^p = z^p$ con $p \not \mid xyz$.
Aquí la notación $\operatorname{Res}{(f, g)}$ representa la resultante de los polinomios $f$ e $g$.
A partir de este teorema podemos obtener Sophie Germain del teorema como una inmediata corolario, porque en ese caso, básicamente nos encontramos ante el caso en el que $k = 2$.
Por lo que asumimos que el $p$ es una extraña primer tales que $q = 2p + 1$ es también un número primo. Entonces, queremos mostrar que
$$
q \no \mid (2^2 - 1)\operatorname{Res}{(X^2 - 1, (X + 1)^2 - 1)}
$$
Ahora desde $p > 2$ entonces $q > 5$, por lo que, ciertamente,$q \not \mid (2^2 - 1)$. También
$$
\operatorname{Res}{(X^2 - 1, (X + 1)^2 - 1)} = \operatorname{Res}{(X^2 - 1, X^2 + 2X)} =
$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
\end{vmatrix}
$$
= -3
$$
por lo $q \not \mid \operatorname{Res}{(X^2 - 1, (X + 1)^2 - 1)}$ bien. Entonces por Wendt del teorema podemos concluir que el primer caso de FLT es cierto para el primer $p$, y así tenemos que Sophie Germain del teorema como corolario de Wendt es el resultado.
Nota de referencia para este resultado es Henri Cohen libro la Teoría de los números Volumen I: Herramientas y Diophantine Ecuaciones, que aparece en la sección 6.9.4, página 430.
También se observa que la he utilizado el factor determinante de la Sylvester de la matriz de los polinomios $X^2 - 1$ e $X^2 + 2X$ a calcular su resultante.
