Estoy empezando un curso de topología este lunes (o más bien, cálculo avanzado, pero el primer tema que se trata es de topología) y nunca he hizo preguntas como esta antes. Me gustaría que alguien compruebe que tengo la idea correcta de lo que está pasando, y también tengo un par de preguntas.
Pregunta
Deje $A=\{(x,y) \in \mathbb R^2 | x^2 \leq y\}$
Encontrar el interior de $A$, el cierre de $A$, y el límite de $A$. Es $A$ un conjunto abierto? Es un conjunto cerrado?
Mis respuestas
$A$ no es un conjunto abierto. Por ejemplo, $(1,1) \in A$ pero si nos fijamos en un círculo con $(1,1)$ en el centro, y con un radio de $\epsilon$ tan pequeño como se quiera, no todos los elementos en ese círculo, le pertenecen a $A$. Por ejemplo, $(1+\epsilon,1) \notin A$. Por lo $A$ no es un conjunto abierto. (PREGUNTA 1 podemos automáticamente inferir que si $A$ no es un conjunto abierto es un conjunto cerrado?)
$A$ es un conjunto cerrado, debido a que $\bar A = \{(x,y)\in \mathbb R^2 | x^2 >y\}$ es un conjunto abierto. para cada $(a,b)\in \bar A$ podemos encontrar una $\epsilon$ tal que todos los elementos en el círculo procedentes de $(a,b)$, con un radio de $\epsilon$ es $\bar A$.
El límite de $A$ es $\{(x,y) \in \mathbb R^2 | x^2=y\}$
El interior de $A$ es $A$/límite de $A$ = $\{(x,y) \in \mathbb R^2|x^2<y\}$
El cierre de $A$ es $A$ (PREGUNTA 2 si $A$ es un conjunto cerrado, es $A$ = el cierre de $A$? Esto se sienta bien, lógicamente, pero queda demostrado).
