Verificar la siguiente identidad mediante un modelo de selección de comité.

Question

PS

El "modelo de selección de comité" es un modelo que se usa para ver las combinaciones al seleccionar un comité de un grupo de personas. Por ejemplo,$${n \choose 0} + {n+1 \choose 1} + {n+2 \choose 2} +\cdots + {n + r \choose r} = {n+r+1 \choose r}$ es el número de comités de 4 personas que se pueden formar a partir de un grupo de 15 personas.

Lo que tengo la tarea de hacer es una prueba combinatoria que usa este modelo, que muestra que la izquierda cuenta lo mismo que la derecha que usa el modelo de comité.

Answer 1

En el lado derecho, se cuenta el número de comités de $r$ de las personas que pueden ser elegidos de un grupo a $n+r+1$ de la gente.

Ahora selecciona una persona en particular del grupo, dice Juan. A continuación tienes dos mutuamente excluyentes casos:

1. Juan no es elegido en el comité, por lo que el número de comités que ca se formó sin que Juan es ${n+r\choose r}$

2. Juan es elegido en el comité, entonces usted tiene que elegir a $r-1$ de personas de un grupo de $n+r$. Veamos ahora otra persona del grupo, es decir Susie

   2.1 Juan es elegido en el comité, pero Susie no es, que se puede hacer en ${n+r-1\choose r-1}$ formas

   2.2 Tanto John y Susie son elegidos, en cuyo caso...

... y así sucesivamente y así sucesivamente...

Así que si usted se etiqueta a la gente como $1,2,\ldots,n+r+1$, entonces el número de formas de elegir los $r$ de la gente es igual a la suma de las maneras para formar el comité obligatoriamente en la elección de las etiquetas de $0,1,\ldots k-1$ y no elegir la etiqueta $k$, para $k=1,2\ldots,r+1$

Answer 2

$$ \begin{align} \sum_{i=0}^r\binom {n+i}i &=\sum_{i=0}^r\binom {n+i}n\\ &=\sum_{i=0}^r \binom {n+i+1}{n+1}-\binom {n+i}{n+1}\\ &=\binom {n+r+1}{n+1}\\ &=\binom {n+r+1}r \end {align} $$

Answer 3

Tiene que$\binom x y$ cuenta las formas de seleccionar$y$ personas de una lista de$x$ personas.

Por ejemplo,$\binom 1 1$ cuenta la forma$1$ de seleccionar una persona de una lista de una persona.

Sugerencia: tenga en cuenta que$\tbinom x y = \tbinom x {x-y}$ para todos los enteros$x,y$ donde$0\leq y\leq x$, y así también$\tbinom {n+k} k=\tbinom {n+k}n$ para todos$0\leq n\leq n+k$.

Por lo tanto, el LHS,$\sum_{k=0}^r \binom {n+k}k$ es igual a$\sum_{k=0}^r \binom {n+k}n $ y cuenta ...

Del mismo modo, el RHS,$\binom {n+r+1}{r}$ es$\binom {n+r+1}{n+1}$, por lo tanto, cuenta ...

Mostrar lo que cuentan puede ser la misma tarea.