Si$a,b > 1$ y$r>2$ ¿$ax^2+by^2=z^r$ tiene alguna solución racional?

Question

He estado tratando de resolver la siguiente ecuación durante meses sin mucho éxito. Ha sido hasta ahora un esfuerzo muy frustrante. Por favor ayuda.

Considere la ecuación diofántica:$x^2+y^2=z^r$ donde$\gcd(x,y,z)=1$ y$r>2$. Suponiendo que exista un triplete no trivial:$(x_0,y_0,z_0)$ satisfactorio:$$x_0^2+y_0^2=z_0^r$$ How do I find the parametrization of:$$ax^2+by^2=z^r$ $?

Answer 1

Es bastante fácil de parametrizar,

PS

para impar$$\color{red}ax^2+\color{red}by^2 =z^k$ . Asumir,

PS

PS

Iguala los factores y resuelve para$k$. Por lo tanto,

PS

Por ejemplo, vamos a$$x^2+by^2 = (p^2+bq^2)^k$. Entonces,

PS

Dejar $$(x+y\sqrt{-b})(x-y\sqrt{-b}) = (p+q\sqrt{-b})^k(p-q\sqrt{-b})^k$. Entonces,

PS

para las variables libres $x,y$. Dejar $$x =\frac{\alpha+\beta}{2},\quad y = \frac{\alpha-\beta}{2\sqrt{-b}},\quad\text{where}\quad \alpha = (p+q\sqrt{-b})^k,\quad \beta = (p-q\sqrt{-b})^k$,

$k = 3$

y así.