$|x_{n+1} - x_n| \le C |x_n - x_{n-1}|.$ Probar$(x_n)$ es cauchy

Question

Deje que$\{x_n\}$ sea una secuencia tal que exista un$0 < C < 1$ tal que$$|x_{n+1} - x_n| \le C |x_n - x_{n-1}|.$ $ pruebe que$\{x_n\}$ es Cauchy. Sugerencia: puede utilizar libremente la fórmula (para$C \not = 0$)$$1+C+C^2+...+C^n = \frac {1-C^{n+1}}{1-C}.$ $

Mi intento : $\frac {|x_{n+1} -x _n|}{|x_n - x_{n-1}|}<C$. Entonces, $\frac {|x_{n+1} -x _n|}{|x_n - x_{n-1}|}<1$. Entonces, pensé que va a cero como$n \to \infty$ porque la diferencia entre$x_n$ y$x_{n+1}$ se está reduciendo a medida que$n \to \infty.$ Pero no sé cómo usar el Indicar en la pregunta, y cómo escribir la respuesta correctamente. ¿Podría dar alguna pista?

Answer 1

Se necesitan dos ideas. Primero, la diferencia$x_n-x_{n-1}$ tiende a$0$. Esta es una consecuencia inmediata de la desigualdad dada en cuestión. Solo aplícalo de forma recursiva para obtener$$|x_n-x_{n-1}|\leq C^{n-2}|x_2-x_1|$ $ y listo.

La siguiente idea se refiere a la sugerencia dada en cuestión. Deje que$p$ sea un número entero positivo y luego$$|x_{n+p} - x_n|\leq \sum_{i=1}^{p}|x_{i+n}-x_{i-1+n}|\\\leq (1+C+C^2+\dots+C^{p-1})|x_{n+1}-x_n|<\frac{|x_{n+1}-x_n|}{1-C}$$ Now it should be obvious that $ \ {x_n \}$ is Cauchy as RHS tends to $ 0 $.