Límite de$\frac{\log(n!)}{n\log(n)}$$n\to\infty$.

Question

Me parece que no puede encontrar una buena manera de resolver esto.

He intentado utilizar L'Hopitals, pero la derivada de $\log(n!)$ es realmente feo. Sé que la respuesta es 1, pero no sé por qué, la respuesta es una.

De cualquier manera sencilla de ir sobre esto?

Answer 1

El numerador es

$$ \log(n!) = \log 1 + \log 2 + \log 3 + \cdots + \log n $$

Los términos tienen un evidente límite superior: $\log n$. Por lo tanto,

$$ \log(n!) \leq \log n + \log n + \log n + \cdots + \log n = n \log n $$

Por lo tanto, $\log(n!) / (n \log n) \leq 1$, siempre.

La mitad de los términos tiene un evidente límite inferior: $\log (n/2)$.

$$ \log(n!) \geq (n/2) \log(n/2) $$

Por lo tanto,

$$\lim \frac{\log n!}{n \log n} \geq \lim \frac{(n/2) \log(n/2)}{n \log n} = \frac{1}{2} $$

Pero también sabemos que las tres cuartas partes de los términos tienen el límite inferior $\log(n/4)$, por lo que

$$\lim \frac{\log n!}{n \log n} \geq \lim \frac{(3n/4) \log(n/ 4)}{n \log n} = \frac{3}{4} $$

Y así sucesivamente: podemos ver que el límite es más grande que cualquier número menor que 1.

Y por lo que aplicar el viejo principio de agotamiento! Si el límite es más grande que cualquier número menor que 1, entonces el límite no puede ser menor que 1. Pero sabemos que el límite no puede ser mayor que 1. Por lo tanto, debe ser 1!

Answer 2

En primer lugar, el uso que $n^n > n!$ todos los $n > 1$, lo $n \log(n) > \log(n!)$$1 > \dfrac{\log(n!)}{n \log(n)}$. Ahora, desde el teorema de aproximación de Stirling, tenemos $n \log(n) - n < \log(n!)$, por lo que tenemos $1 - \dfrac{1}{\log(n)} < \dfrac{\log(n!)}{n \log(n)}$. La combinación de estos, tenemos $1 - \dfrac{1}{\log(n)} < \dfrac{\log(n!)}{n \log(n)} < 1$. Es fácil ver que $\lim_{n \rightarrow \infty} 1 - \dfrac{1}{\log(n)} = 1$ y trivial que se $\lim_{n \rightarrow \infty}1 = 1$, de modo que por el teorema del sándwich, $\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\log(n!)}{n \log(n)} = 1$.

Para demostrar que $n^n > n!$, basta comparar los términos de su producto expansiones (es decir,$n^n = n \cdot n \cdot n \cdots n$ ($n$ veces) y $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$.).

Answer 3

Basada en la base de las propiedades de los logaritmos y una simple aproximación integral, podemos reescribir $\log(n!)$ como sigue:

\begin{eqnarray} \log(n!) = \log(1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n) = \log(1) + \log(2) + \log(3) + \cdots+ \log(n) = \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n} \log(i) \approx \int_1^n \log(x)\,\mathrm{d}x = [x\log(x) -x]_{1}^{n} = n\log(n)-n+1 \approx n\log(n) - n \end{eqnarray}

Por lo tanto,

\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{\log(n!)}{n\log(n)} \approx \frac{n\log(n) - n}{n\log(n)} = 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log(n)} =1. \end{eqnarray}

Answer 4

Permítanos mostrarle su límite es de 1 en un elemento manera sin cálculo. WOLG reemplazamos $n$$2^n$.

$$\sum_{1\le k \le 2^n} \ln k >\sum_{1\le k\le n-1} 2^{k}\ln 2^{k}$$

Ahora vamos a probar $$\frac{\sum_{1\le k\le n-1} k2^k}{n 2^n} \to 1.$$ Reemplace$k$$n-k$, $$\frac{\sum_{1\le k\le n-1} (n-k)2^{-k}}{n}\to 1,$$ o $$\sum_{1\le k\le n-1} \frac{k}{n}2^{-k}\to 0, $$ el resto es tuyo (el uso de $k2^{-k}\to 0$).