¿Es el análisis complejo análisis Real equivalente con f:\mathbb $ R ^ 2 \to \mathbb R ^ 2$?

Question

Estoy en lo cierto en darse cuenta de que el Análisis Complejo parece ser un sinónimo para el análisis de las funciones de $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$?

Si este es el caso, seguramente todos los resultados de análisis complejo de llevar al estudio de estos $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ funciones. Nada de complejos análisis de llevar encima en el estudio de las funciones, incluso en las dimensiones superiores?

Además, hay un área de Matemáticas similares a los complejos análisis que investiga las funciones de, digamos, $\mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ para el mismo nivel de detalle?

Answer 1

No, no lo es. Esto puede verse más obviamente del hecho de que el mapa $z \mapsto \overline z$ no es diferenciable como mapa de $\mathbb C$ a $\mathbb C$, pero el correspondiente mapa de $(x,y) \mapsto (x,-y) $ es diferenciable como mapa de $\mathbb R ^ 2$ para $\mathbb R ^ 2$.

Esto es porque ser compleja diferenciable necesita tener una mejor aproximación lineal complejo que es un requisito mucho más fuerte que tener una mejor aproximación lineal real.

Answer 2

Análisis complejo es diferente desde el análisis de las funciones $R^2 \a R^2$ en el que se requiere que las funciones no sólo para ser diferenciable, pero complejo-diferenciable, que es un requisito más estricto. Una manera de mirar el requisito es que requieren que las funciones localmente mirar no sólo como una transformación lineal $R^2 \a R^2$, pero como una transformación lineal correspondiente a la multiplicación por un número complejo, que podemos identificar con transformaciones lineales del plano por el obvio multiplicación

$$(a,b) \cdot (c,d) = (ac - ac, ad + bc)$$

como es obvio, cuando escribimos $(a,b) = a + bi$ y $(c,d) = c + di$. Podemos ver esto en la forma de la matriz si identificamos $(a,b) = a+bi$ con la matriz

$$ \begin{bmatrix} a & b \\ b & \\ \end{bmatrix}.$$

Dichas funciones tienen muchas propiedades que funciones diferenciables $R^2 \a R^2$ no tienen necesidad, que da de análisis complejo de mucho sabor diferente. Por ejemplo, si queremos ver las funciones complejas en (simplemente conectado subconjuntos de) el plano complejo como campos vectoriales en $R^2$, entonces compleja de las funciones diferenciables será conservador campos vectoriales. Sin embargo, si sabemos algo acerca de las funciones diferenciables $R^2 \a R^2$, entonces por definición saber algo acerca del complejo de funciones diferenciables $C \C$, a pesar de que puede ser necesario hacer algunas de traducción.

Answer 3

Las funciones estudiadas en el análisis complejo son mucho más específicas que las funciones de $\Bbb{R}^2$ a sí mismo.

Si te gusta, se podría decir que el análisis complejo es el estudio de las funciones de $\Bbb{R}^2$ a sí mismo, que satisfacen un determinado sistema de PDE (a saber, la de Cauchy-Riemann ecuaciones). La mayoría de la gente probablemente no decirlo de esa manera, porque oscurece la motivación; "debemos ampliar el concepto de la diferenciabilidad de números complejos" es mucho más natural del objetivo que "debemos buscar en las funciones que cumplen algunas arbitraria de la PDE sistema."

Puesto que no hay un buen de 3 dimensiones análogo de la de Cauchy-Riemann ecuaciones, tampoco hay un buen de 3 dimensiones analógica de análisis complejo. Hay ciertas áreas que se extienden, sin embargo; por ejemplo, el estudio de la armónica de funciones en $\Bbb{R}^2$, esencialmente se reduce a un análisis complejo, pero también se puede estudiar armónica de funciones en $\Bbb{R}^n$ (y tienen muchas de las mismas propiedades que sus 2 dimensiones homólogos).

Answer 4

Por supuesto es cierto que cada función de ${\mathbb C} $ que $\mathbb C$ puede considerarse como una función de ${\mathbb R} ^ 2$ a ${\mathbb R} ^ 2$, pero en análisis complejo, hacemos uso de la estructura adicional que surja de la multiplicación de números complejos. Differentiability en el sentido de números complejos es una hipótesis mucho más fuerte que differentiability de funciones desde ${\mathbb R} ^ 2$ a ${\mathbb R} ^ 2$. No hay ninguna estructura comparable en ${\mathbb R} ^ 3$.

Answer 5

La respuesta simple es que el análisis complejo sobre el plano complejo $\mathbb{C}$, que no es equivalente a la euclídea plano $\mathbb{R}^2$. El plano complejo $\mathbb{C}$ procesos estructura adicional definida por multiplicación compleja, que no está definido en $\mathbb{R}^2$.