Resuelve la siguiente ecuación diferencial$ u_{xx}-m^2u=\delta(x-x_0)$

Question

Encuentre la solución de la siguiente ecuación$$ u_{xx}-m^2u=\delta(x-x_0),$ $$u(0)=0=u(L),\ x\in\mathbb R^2$

En realidad, no sé cómo resolver. ¿Hay alguien para ayudar?

Answer 1

Supongamos temporalmente que la solución se puede extender a$R^+$. A continuación, aplique la transformada de Laplace a la DE;

PS

Donde,$$(s^2U(s)-su(0)-u_x(0))-m^2U(s)=e^{-sx_0}$ $

PS

Aplicando los rendimientos de la transformada de Laplace inversa:

PS

En la que$$U(s):= \int_0^\infty \! e^{-sx}u(x) \, \mathrm{d}x.$ denota la función de paso de Heavisde . Imponer$$\Rightarrow(s^2U(s)-u_x(0))-m^2U(s)=e^{-sx_0}$ con el supuesto$ $ da:

PS

Por lo tanto, la solución es

PS

Answer 2

Escriba$u=G+y$, donde$G=\frac{1}{4\pi |x-x_0|}$ resuelve$-u_{xx}=\delta(x-x_0)$ en todo$\mathbb R^1$. Luego, al insertar esto en su ecuación, obtendrá$-y_{xx}+m^2G+m^2y=0\quad (*)$ con nuevas condiciones de contorno:$y(0)=-G(0)$ y$y(L)=-G(L)$. Ahora tienes que resolver la ecuación regularizada$(*)$ para$y$.