Teorema de convergencia dominado para la expectativa condicional bajo el supuesto de convergencia en probabilidad

Question

Vamos

• $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ ser un espacio de probabilidad
• $E$ ser $\mathbb R$-espacio de Banach
• $X,X_n:\Omega\to E$ ser $\mathcal A$-medible para $n\in\mathbb N$ con $$\left\|X_n-X\right\|_E\xrightarrow{n\to\infty}0\;\;\;\text{in probability}\tag1$$
• $\mathcal F\subseteq\mathcal A$ ser $\sigma$-álgebra en $\Omega$

Asumir $$\left\|X_n\right\|_E\le Y\;\;\;\text{almost surely for all }n\in\mathbb N\tag2$$ for some $Y\in\mathcal L^1(\operatorname P)$.

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Por $(1)$ e $(2)$ podemos concluir $X,X_n\in\mathcal L^1(\operatorname P;E)$ para todos los $n\in\mathbb N$ con $$\left\|X_n-X\right\|_{L^1(\operatorname P;\:E)}\xrightarrow{n\to\infty}0\tag3$$ by a simple generalization of the dominated convergence theorem. Now, since $\operatorname E\left[\;\cdot\;\mid\mathcal F\right]\en\mathfrak L(\mathcal L^1(\operatorname P;E))$, $$\left\|\operatorname E\left[X_n\mid\mathcal F\right]-\operatorname E\left[X\mid\mathcal F\right]\right\|_{L^1(\operatorname P;\:E)}\xrightarrow{n\to\infty}0\tag4.$$

Pero, ¿somos capaces de demostrar que $$\left\|\operatorname E\left[X_n\mid\mathcal F\right]-\operatorname E\left[X\mid\mathcal F\right]\right\|_{E}\xrightarrow{n\to\infty}0\tag5\;\;\;\text{almost surely}?$$

Answer 1

La secuencia de la máquina de escribir (Ejemplo 4) es un ejemplo de contador. Permita que$\Omega=[0,1]$,$\mathcal A= \mathcal B([0,1])$,$P=\text{Leb}$,$X_n=\mathbf 1([k/m^{-1},(k+1)/m^{-1}] )$,$ k\le m-1$,$m\in\mathbb N$, para que corresponda$n(m,k)$,$X=0$ ,$\mathcal F= \mathcal A $,$Y=1$. Si$\mathcal F$ es finito, entonces la expectativa condicional converge como por$L^1$ - convergencia con$X_n=|X_n|$.