¿Cuáles son los objetos de grupo en la categoría de conjuntos finitos y bijections, y su categoría de functor?

Question

Un objeto $G$ en categoría $\mathcal{C}$ se llama un objeto de grupo si, dado cualquier objeto $X$ en $\mathcal{C}$, hay una estructura de grupo en el morfismos $\operatorname{hom}\left(X,G\right)$ tal que $X\mapsto \operatorname{hom}\left(X,G\right)$ es un (contravariante) functor de $\mathcal{C}$ a $\text{Grp}$.

Grupo de objetos de la categoría de $\text{Set}$ son grupos en el sentido usual de la palabra. Del mismo modo, grupo de objetos de la categoría de $\text{FinSet}$ son grupos finitos.

Suponiendo que la buena (no tautológica) descripciones de existir,

1. ¿Cuáles son los objetos de grupo de la categoría $\text{FinBij}$, la categoría cuyos objetos son conjuntos finitos, y cuyos morfismos son bijections?

2. ¿Cuáles son los objetos de grupo de la functor categoría de $\text{FinBij}$, la categoría cuyos objetos son functors de $\text{FinBij}$, y cuyos morfismos son naturales transformaciones?

Answer 1

No hay ningún objeto de grupo: ya que solo tiene bijections en su categoría, para todo G existe una X tal que hom (x, G) está vacío, por lo que no es un grupo en absoluto.

Answer 2

La cuestión utiliza un no estándar de la definición de objeto de grupo.

En el marco de la definición de objeto de grupo, la respuesta a la primera pregunta es

1. Para la identidad de morfismos $1 \to G$, y la multiplicación de morfismos $G \times G \to G$ (si existen productos...) para vivir en una categoría cuyos morfismos son bijections, $G$ debe tener cardinalidad $1$.

La definición de la pregunta es equivalente a la costumbre, sólo cuando la categoría se ha finito de productos. Aunque su definición, parecería ser más general, en una categoría con terminal de objeto, la subcategoría generado por el objeto que tiene una estructura única de finito de productos (todos de los cuales son iguales a la terminal de objeto) y por lo tanto esperamos que el terminal objeto se adapta a cualquier definición de "objeto de grupo". Como está escrito en Mariano respuesta este no es el caso para su definición. Por lo tanto diferente frase de "objeto de grupo" se debe utilizar para esta definición más general.