Ejemplo explícito del teorema de Hahn-Banach en el espacio dimensional finito $\mathbb{R}^2$ ?

Question

El teorema de Hahn-Banach nos permite extender las funciones lineales definidas en un subespacio de algún espacio vectorial $V$ a todo el espacio. ¿Es posible construir un ejemplo explícito de esto en el caso dimensional finito? Por ejemplo, supongamos que $V = \mathbb{R}^2$ y $U=\mathbb{R} \subset V$ . ¿Cuál sería un ejemplo explícito sencillo del teorema de Hahn-Banach, es decir, cuáles son las expresiones explícitas para

1. $p:V \to \mathbb{R}$ es una función sublineal
2. $\varphi: U \to \mathbb{R}$ es una función lineal en el subespacio lineal $U \subset V$ que está dominado por $p$ en $U$ .
3. La extensión lineal $\psi:V \to \mathbb{R}$ de $\varphi$ a todo el espacio tal que \begin {align} \psi (x) = \varphi (x) \quad \forall x \in U, \\ \psi (x) = p(x) \quad \forall x \in V. \end {align}

Answer 1

Podrías tomar $$ p(x) = \| x\|_2, \quad \phi(u) = \frac12 u $$

A continuación, una posible ampliación para $\psi:\mathbb R^2\to\mathbb R$ sería $$ \psi(x) = \frac12 x_1. $$ Otras extensiones válidas serían $$ \psi(x) = \frac12 x_1 + \frac12 x_2, $$ porque esta función también está limitada por $p$ .

Answer 2

En caso de $(\mathbb{R}^2, \|\cdot\|_2)$ Las cosas son bastante sencillas.

Dejemos que $U \le \mathbb{R}^2$ sea un subespacio y $\phi : U \to \mathbb{R}$ un funcional lineal. Por el teorema de la representación de Riesz, existe $a \in U$ tal que $\phi(x) = \langle x, a\rangle, \forall x \in U$ . Entonces el funcional lineal $\psi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por la misma fórmula $\psi(x) = \langle x, a\rangle, \forall x \in \mathbb{R}^2$ es el único Extensión de Hahn-Banach de $\phi$ .

A saber, claramente $\psi$ extiende $\phi$ y $\|\phi\| = \|a\|_2 = \|\psi\|$ así que $\psi$ es una extensión de Hahn-Banach de $\phi$ .

Dejemos que $\zeta : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ sea otra extensión de Hahn-Banach de $\phi$ . Por el teorema de la representación de Riesz, existe $b \in \mathbb{R}^2$ tal que $\zeta(x) = \langle x, b\rangle,\forall x \in \mathbb{R}^2$ . Desde $\zeta$ extiende $\phi$ tenemos

$$\langle x, a\rangle = \phi(x) = \zeta(x) = \langle x, b\rangle, \forall x \in U \implies \langle x, a - b\rangle = 0, \forall x \in U \implies a - b \perp U$$

Desde $b = \underbrace{a}_{\in U} + \underbrace{(b - a)}_{\in U^\perp}$ el teorema de Pitágoras da

$$\|a\|_2^2 + \|b - a\|_2^2 = \|b\|_2^2 = \|\zeta\|^2 = \|\phi\|^2 = \|a\|_2^2 \implies b - a = 0 \implies a = b$$

Por lo tanto, $\zeta = \phi$ .

De hecho, esta construcción explícita siempre es posible cuando se trata de un espacio de Hilbert, que $(\mathbb{R}^2, \|\cdot\|_2)$ es un ejemplo de ello.

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Para un ejemplo explícito de la discusión anterior, considere el subespacio $Y = \{(x,2x) \in \mathbb{R}^2 : x \in \mathbb{R}\} \le \mathbb{R}^2$ y el funcional lineal $\phi :Y \to \mathbb{R}$ dado por $\phi(x,y) = x$ .

Una base ortonormal para $Y$ es $\left\{\frac1{\sqrt{5}}(1,2)\right\}$ por lo que la proyección ortogonal $P_Y$ en $Y$ viene dada por

$$P_Y(x,y) = \left\langle (x,y),\frac1{\sqrt{5}}(1,2)\right\rangle \frac1{\sqrt{5}}(1,2) = \left(\frac{x+2y}5, \frac{2x+4y}5\right)$$

Ahora, observe que para todos los $(x,y) \in Y$ tenemos

$$\phi(x,y) = x = \langle (x,y), (1,0)\rangle = \langle (x,y), P_Y(1,0)\rangle = \left\langle (x,y), \left(\frac15, \frac25\right)\right\rangle$$

Ahora la discusión anterior implica que la extensión única de Hahn-Banach de $\phi$ viene dada por $\psi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definido como

$$\psi(x,y) = \left\langle (x,y), \left(\frac15, \frac25\right)\right\rangle = \frac{x}2 + \frac{2y}5, \quad\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2$$