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Question

Estoy intentando resolver un ejercicio de Concrete Mathematics pero parece que estoy atascado en la suma$$\sum_{1 \le j\le k\le n} jk $ $ ¿Cómo proceder? He intentado usar la condición de corchete de Iverson como$$ [1\le j\le k\le n] = [1\le j \le n][j\le k \le n] $ $, pero no estoy seguro de cómo escribir la suma como sumas múltiples.

Answer 1

Considere la siguiente identidad, con su significado obvio: $$ \ left (\ sum_i \ right) ^ 2 = \ sum_ {i, j} = \ sum_ {i <j} + \ sum_ {i = j} + \ sum_ { j> i} = 2 \ sum_ {i <j} + \ sum_ {i = j}. $$ Por lo tanto $$ \ frac {n ^ 2 (n +1) ^ 2} {4} = 2 \ sum_ {i <j} + \ frac {n (n +1) (2n +1)} {6} . $$

Concluimos que \begin{align*} \sum_{i\le j}=\sum_{i=j}+\sum_{i<j}&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{1}{2}\left(\frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right) \\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}+\frac{n^2(n+1)^2}{8}. \end {align *}

Answer 2

SUGERENCIA :

Escribir

PS

como

PS

De las sumas aritméticas.

Esta suma es, a su vez, descomponible en 4 sumas más simples. ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 3

Divida la suma sobre los valores de$k$ de$1$ a$n$ y tenga en cuenta que$1 \le j \le k$.
PS

El término general de la secuencia anterior es$$S = \sum_{1 \le j\le k\le n} jk = 1 \sum_{j=1}^1 j \ + 2 \sum_{j=1}^2 j \ + 3 \sum_{j=1}^3 j \ ....+ \ n \sum_{j=1}^n j \ $.
Simplificando$ \ \ T_n = n \frac{n(n+1)}{2}$ obtenemos,
$T_n$ $ Y ahora$$T_n = \frac{n^3 + n^2}{2}$

Use las expresiones de$S_n = \sum T_n =\frac{ \sum n^3 + \sum n^2}{2}$ y$\sum n^2$ y simplifique para obtener la suma requerida.

Answer 4

Una alternativa es establecer$j-1=a, k-j=b, n-k=c$. Entonces estamos buscando

$$ S(n)=\sum_{\substack{a+b+c=n-1\\a,b,c\geq 0}}(a+1)(a+b+1)=\sum_{\substack{a+b+c=n-1\\a,b,c\geq 0}}(1+2a+b+a^2+ab) $ $ donde$$ \sum_{d\geq 0}x^d = \frac{1}{1-x},\qquad \sum_{d\geq 0}dx^d = \frac{x}{(1-x)^2},\qquad \sum_{d\geq 0}d^2 x^d = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} $ $ y$$ \sum_{\substack{a+b+c=n-1\\a,b,c\geq 0}}\!\!\!1 = [x^{n-1}]\frac{1}{(1-x)^3},\qquad \sum_{\substack{a+b+c=n-1\\a,b,c\geq 0}}a=[x^{n-1}]\frac{x}{(1-x)^4} $ $$$ \sum_{\substack{a+b+c=n-1\\a,b,c\geq 0}}\!\!\!a^2 = [x^{n-1}]\frac{x(1+x)}{(1-x)^5},\qquad \sum_{\substack{a+b+c=n-1\\a,b,c\geq 0}}ab=[x^{n-1}]\frac{x^2}{(1-x)^5} $ $ así que$$ S(n) = [x^{n-1}]\left(\frac{1}{(1-x)^3}+\frac{3x}{(1-x)^4}+\frac{x(1+x)}{(1-x)^5}+\frac{x^2}{(1-x)^5}\right)$ $ o$$ S(n) = [x^{n-1}]\frac{2x+1}{(1-x)^5}=\binom{n+3}{4}+2\binom{n+2}{4}=\color{red}{\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{24}}. $ $

---

Una forma interesante y más práctica es demostrar primero que$S(n)$ es un polinomio de cuarto grado en la variable$n$, luego encontrar sus coeficientes a través de la interpolación de Lagrange, una vez calculados$S(1),S(2),S(3),S(4),S(5)$.

Answer 5

Sugerencia :

Escríbelo como una suma doble:

PS

El resto es una aplicación simple de las fórmulas de Faulhaber.