¿Hessiano definido positivo implica que el jacobiano es inyectivo?

Question

Supongamos que$f(x):\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$ es una función infinitamente diferenciable. Si$\nabla^2 f(x)$, la arpillera de$f$ es positiva definida en todas partes, ¿esto implica que el gradiente (derivado de primer orden)$\nabla f:x\mapsto \nabla f(x)$ de$\mathbb{R}^n$ a$\mathbb{R}^n$ es inyectivo ?

Es el caso de$n=1$, pero no estoy seguro de si es el caso de$n$ general. He tratado de probar el pensamiento a lo largo del teorema de la función inversa. Pero ese es local mientras necesito una propiedad global. Tal vez hay un simple ejemplo de contador que no he visto.

Answer 1

Escribe$g = \nabla f$ y$H = \nabla^2 f$.

Deje$x,h\in\mathbb R^n$ con$h\ne 0$. Aplicar la expansión de Taylor en$g(x+h) - g(x)$. Luego, por continuidad y definición positiva de$H$ sigue$$ h^T (g(x+h) - g(x)) = \int_0^1 \underbrace{h^T H(x+th)h}_{>0} \; \mathrm d t > 0. $ $ Por lo tanto,$g(x)\ne g(x+h)$.