¿$x^3 - \frac{m}{n}\sqrt{5}x - 1$ Tiene una raíz racional?

Question

Estoy tratando de mostrar si $p(x) = x^3 - \frac{m}{n}\sqrt{5}x - 1$ tiene una raíz racional o no, donde $\frac{m}{n}$ es racional. Mi intento es, hasta ahora, para activar $p(x)$ en otro polinomio $q(x) = ( - \frac{m}{n}\sqrt{5}x - (1 - x^3))(- \frac{m}{n}\sqrt{5}x + (1 - x^3))= -n^2x^6 + 2n^2x^3 + 5m^2x^2 - n^2$, que tiene todas las raíces de $p(x)$, y tratando de mostrar a $p(x)$ tiene (o no tiene) racional raíces. Pero estoy teniendo problemas para determinar esto por $q(x)$ ya que los coeficientes de la más alta y la más baja ordenó plazo es un entero arbitrario, lo que hace que la aplicación racional de la raíz teorema difícil. Así que me pregunto si hay una manera de responder a la pregunta.

Answer 1

Deje que $x$ sea una raíz racional.

Por lo tanto, $x\neq0$ y $$\sqrt5=\frac{x^3-1}{\frac{m}{n}x},$$ which is a contradiction for $ \ frac {m} {n} \ neq0 $ .

¿Puedes terminarlo ahora?