Lo que es cierto para un anillo con exactamente dos ideales

Question

Esta es la pregunta #66 de http://www.ets.org/s/gre/pdf/practice_book_math.pdf

Deje $R$ ser un anillo con una identidad multiplicativa. Si $U$ es un subgrupo aditivo de $R$ tal que $ur \in U$ para todos los $u \in U$ , y para todos los $r \in R$ ,, a continuación, $U$ se dice que es un derecho ideal de $R$. Si $R$ tiene exactamente dos ideales, que de lo siguiente debe ser verdadero?

I. $R$ es conmutativa.
II. $R$ es un anillo de división (es decir, todos los elementos, excepto la identidad aditiva tienen inversos multiplicativos).
III. $R$ es infinito.

Aquí está mi razonamiento:
Debido a $R$ es un anillo, $R$ es también un aditivo grupo con algún elemento de identidad $0$. Tenemos un teorema que dice $0r = 0 $ en cualquier anillo, por lo $\{0\}$ es un derecho ideal de $R$. También, $R$ es un derecho ideal de $R$. Ahora he encontrado dos diferentes derecha ideales y de ahí no debe de ser.

Edit: Como se ha mencionado en los comentarios, en el ejemplo de abajo no es un anillo, por lo que no es aplicable al problema. Yo no podría solucionarlo por tomar aditivo de cierre debido a que se presentaron más de dos ideales.

Un posible candidato para $R$ podría ser el conjunto de $2\times2$ matrices $\{0,I,-I,a,-a\}$ donde $a = [[^1_0] ,[^0_0]]$. El único derecho que los ideales se $R$ e $\{0\}$. Este anillo satisface la propiedad de sólo yo, sino la clave de respuestas dice que II es la respuesta correcta.

Answer 1

Bueno, desde el $R$ tiene exactamente dos a la derecha ideales sabemos a priori que los dos ideales son sólo $\{0\},R$ ya que estos dos son siempre ideales. Por lo tanto, si $I$ es distinto de cero ideal de $R$ entonces $I=R$.

Deje $a\in R, \ a\neq0$. Vamos a mostrar que el $a$ es invertible y, por tanto, $R$ es un anillo de división. Considerar el ideal de $\langle a\rangle=\{ar:r\in R\}$. Desde $\langle a\rangle\neq\{0\} \Longrightarrow \langle a\rangle=R \Longrightarrow 1\in \langle a\rangle\Longrightarrow 1=ar$ para algunos $r\in R.$ Ahora teniendo en cuenta el ideal de $\langle r\rangle$ hay algo de $s\in R$ tal que $rs=1$. Queda por demostrar que $a=s$. El uso que $a=a\cdot1$ e $1\cdot r=r$.

Answer 2

Deje $U$ ser un ideal de derecho en $R$. Tenemos $U$ es un ideal maximal si y solo si $R/U$ es un simple anillo (es decir, Si tiene exactamente dos ideales). Entonces es evidente que $\{0\}$ es un ideal maximal en $R$.