$\int x J_0(k x)e^{-x^2/2}dx$ Descomposición de la función de Bessel de una gaussiana

Question

$$\int ^\infty _0 x J_0(k x)e^{-x^2/2}dx$$

La integral anterior corresponde a la transformada de Fourier en coordenadas radiales. La transformada de Fourier de una gaussiana 2D sigue siendo una gaussiana 2D. Por lo tanto, la integral anterior es $e^{-k^2/2}$

Esto se puede mostrar utilizando la expansión en series de las funciones de Bessel de manera relativamente fácil, sin embargo, me preguntaba si podría haber una forma de hacerlo sin entrar en series. ¿O tal vez hay algo interesante que saber sobre tomar tales integrales que pueda interesarme?

Editar: Más generalmente $$\int ^\infty _0 x J_n(k x)x^ne^{-x^2/2}dx=k^ne^{-k^2/2}$$

esto no es parte de la pregunta, solo es interesante

Answer 1

Ok, ahora que tengo algo de tiempo escribiré algo:

Primero recordar que

$$J_0(y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{-i y \sin(t)}dt$$

para que nuestra integral pueda ser escrita de manera equivalente después de intercambiar las integraciones de $t$ y $x$ $$ 2\pi I(k)=\int_{-\pi}^{\pi} dt \int_0^{\infty} x e^{-x^2-ikx\sin(t)}dx=\\ \partial_k\int_{-\pi}^{\pi} dt\frac{1}{-i\sin(t)} \underbrace{\int_0^{\infty} e^{-x^2-ikx\sin(t)}dx}_{J(k,t)}\qquad(1)$$

La integral interna se puede calcular fácilmente en términos de funciones de error con argumento imaginario (denotado como $\text{Erfi}(x)$):

$$ J(k,t)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}e^{-\frac{1}{4} k^2 \sin ^2(t)}-\frac{i\sqrt{\pi }}{2} \text{Erfi}\left(\frac{1}{2} k \sin (t)\right)e^{-\frac{1}{4} k^2 \sin ^2(t)} $$

Realizando la derivada con respecto a $k$ obtenemos: $$ \frac{\partial_k J(k,t)}{-i\sin(t)} =\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{\pi } k}{4} \sin (t) e^{-\frac{1}{4} k^2 \sin ^2(t)} \left(1-i\text{Erfi}\left(\frac{1}{2} k \sin (t)\right)\right) \qquad(2) $$

ahora sustituyendo (2) en (1) y sustituyendo $y=\sin(t)$ obtenemos $$ 2\pi I(k)=\pi+\frac{i\sqrt{\pi } k}{4}\underbrace{\int_{-1}^{1} \frac{ y e^{-\frac{1}{4}k^2y ^2}}{\sqrt{1-y^2}}dy}_{ =\,0\,\, \text{por paridad}}+\frac{\sqrt{\pi } k}{4}\underbrace{\int_{-1}^{1} \frac{ y e^{-\frac{1}{4}k^2y ^2}\text{Erfi}\left(\frac{1}{2}ky\right)}{\sqrt{1-y^2}}dy}_{C(k)} \quad (3) $$

Para calcular $C(k)$ vamos a establecer $k=i \tilde{k} $ lo cual no debería causar problemas porque nuestra integrando es analítica en el plano complejo con una ranura de $[-1,1]$ y por lo tanto se permite la continuación analítica (también usamos paridad y una sustitución $y\rightarrow \frac{1}{2}\tilde{k}y$ en este paso).

$$ C(\tilde{k})=-\frac{4i}{\tilde{k}}\int_{0}^{\frac{1}{2}\tilde{k}}\frac{ y e^{y ^2}\text{Erf}\left(y\right)}{\sqrt{\frac{1}{^4}\tilde{k}^2-y^2}}dy $$

Esta integral es "bien conocida" y se puede encontrar en la fórmula 4.3.19 aquí y obtenemos (después de volver a rotar $\tilde{k}$) $$ C(k)=\frac{4}{k}\sqrt{\pi}\left(e^{-\frac{1}{4}k^2}-1\right) \quad (4) $$

Sustituyendo (4) en (3) obtenemos

$$ I(k)=\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{4}k^2} $$

Estaría muy agradecido si alguien pudiera proporcionar una demostración de la fórmula enlazada.