Por qué $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}}(1)$ ¿es un paquete de líneas? En el libro de Hartshorne, $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}}(1)$ se define por $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}}(1) = \tilde{S(1)}$ , donde $S=\mathbb{C}[x_0, \ldots, x_n]$ .
El haz de líneas se define como sigue. Dada una variedad compleja $X$ un haz de líneas viene dado por los datos de una cubierta $U_i$ ( $i \in I$ algún conjunto de índices), y trivializaciones $U_i \times \mathbb{C}$ y las funciones de transición $f_{ij}$ en $U_i \cap U_j$ que es una función analítica, en ninguna parte cero, que satisface $f_{ij} f_{jk} = f_{ik}$ (la condición de cocyle), a partir de la cual $f_{ii} = 1$ y $f_{ij} = f_{ji}$ . Es decir, si $u \in U_i \cap U_j$ , entonces el punto $(u, z) \in U_j \times \mathbb{C}$ se identifica con el punto $(u, f_{ij} z) \in U_i \times \mathbb{C}$ .
Cómo demostrar que $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)$ es un haz de líneas utilizando esta definición? Muchas gracias.
