Estoy intentando seguir una demostración en un trabajo de física, pero me he quedado atascado con la identidad $$\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{k}{n-i}\frac{(m+i)!}{i!} = m!\binom{k-m-1}{n}.$$ Le agradecería mucho que me aclarara este misterio.
Aquí tenemos _La identidad de Chu-Vandermonde_ disfrazado.
Dividiendo el lado izquierdo por $m!$ obtenemos \begin {align*} \color {Azul}{ \sum_ {i=0}^n}& \color {azul}{(-1)^i \binom {k}{n-i} \frac {(m+i)!}{i!m!}} \\ &= \sum_ {i=0}^n(-1)^i \binom {k}{n-i} \binom {m+i}{i} \\ &= \sum_ {i=0}^n \binom {k}{n-i} \binom {-m-1}{i} \tag {1} \\ &\,\, \color {azul}{= \binom {k-m-1}{n}} \tag {2} \end {align*} y la afirmación es la siguiente.
Comentario:
En (1) utilizamos la identidad binomial $\binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{q}(-1)^q$ .
En (2) aplicamos el Chu-Vandermonde identidad.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$
$\ds{\sum_{i = 0}^{n}\pars{-1}^{i}{k \choose n - i}{\pars{m + i}! \over i!} = m!{k - m - 1 \choose n}:\ {\LARGE ?}}$ .
\begin {align} & \bbox [10px,#ffd]{ \sum_ {i = 0}^{n} \pars {-1}^{i}{k \choose n - i} { \pars {m + i} \over i!}} = \sum_ {i = 0}^{ \infty } \pars {-1}^{i}\,\,\, \overbrace { \bracks {z^{n - i}} \pars {1 + z}^{k}}^{ \ds {k \choose n - i}\N-, \N-, \N-,} \overbrace {m!{m + i \choose i}}^{ \ds { \pars {m + i} \over i!}} \\ [5mm] = &\\N- ¡m! \bracks {z^{n}} \pars {1 + z}^{k} \sum_ {i = 0}^{ \infty }{m + i \choose i} \pars {-z}^{i} \\ [5mm] = &\\N- ¡m! \bracks {z^{n}} \pars {1 + z}^{k} \sum_ {i = 0}^{ \infty } \overbrace {{-m - i + i - 1 \choose i} \pars {-1}^{i}}^{ \ds {m + i \choose i}} \,\,\, \pars {-z}^{i} \\ [5mm] = &\\N- ¡m! \bracks {z^{n}} \pars {1 + z}^{k} \sum_ {i = 0}^{ \infty } {-m - 1 \choose i}z^{i} = ¡m! \bracks {z^{n}} \pars {1 + z}^{k} \pars {1 + z}^{-m - 1} \\ [5mm] = &\\N- ¡m! \bracks {z^{n}} \pars {1 + z}^{k - m - 1} = \bbx {m!{k - m - 1 \choose n}} \end {align}
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Por favor, enlace el documento. Esto no sólo puede ayudar a la gente a resolver la pregunta, sino que también me ayudará a motivar las identidades de los coeficientes binomiales la próxima vez que enseñe combinatoria :)
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@darij grinberg : He requerido que esta identidad siga una prueba de Estados coherentes atómicos en la óptica cuántica por Arecchi, Courtens, Gilmore y Thomas.