Puedo construir una colección de pares de calcetines?

Question

Un ejemplo de algo que no se puede hacer sin el axioma de elección es la elección de un calcetín de cada par de calcetines en una infinita colección de pares de calcetines. En contraste, es posible hacer algo similar para los zapatos con el axioma de reemplazo, el uso de la relación funcional $P(x,y)$ que evalúa a verdadero si x es un par de zapatos de la y y es el zapato izquierdo de este par.

Es posible construir, en ZF, una colección de pares cuyos elementos son indistinguibles como los elementos de un par de calcetines, por lo que el axioma de reemplazo no nos ayudan a elegir uno de cada par? No estoy seguro de cómo esto se lleva a cabo sin que los elementos de las parejas de hecho en igualdad de condiciones, lo que hace que no pares. Cualquier diferencia entre los elementos de un par parece que sería posible de bases para una relación funcional que podría eludir el axioma de elección.

Answer 1

No se puede construir cosas en ZF (porque la ZF mundo trabaja en realidad podría ser un ZFC mundo), sino que puede (o no) existen todas de la misma.

No estoy seguro de cómo esto se lleva a cabo sin que los elementos de las parejas de hecho en igualdad de condiciones, lo que hace que no pares. Cualquier diferencia entre los elementos de un par parece que sería posible de bases para una relación funcional que podría eludir el axioma de elección.

Que no es realmente una buena intuición.

Hay (suponiendo ZF es consistente) de los modelos de ZF en el que hay una contables de la familia de pares distintos de 2 elementos de los conjuntos que no tiene la función de elección.

En este modelo, si usted ve cualquier de los 2 elementos de los conjuntos en forma aislada, puede perfectamente distinguir uno de sus elementos de otra. Lo que impide la construcción de una función de elección mediante el Reemplazo es que usted necesita diferentes propiedades para distinguir elementos de diferentes pares-no hay una sola fórmula que es cierto para exactamente un elemento de cada uno de los pares.

Answer 2

Permítanme añadir a Henning excelente respuesta de que es compatible con $\sf ZF$ que cada familia finita de conjuntos admite una función de elección, en particular, no hay Russell conjuntos (es decir, los conjuntos de los cuales se puede dividir en parejas, y no admitir una función de elección en cualquier familia infinita de estos pares).

De hecho, esto es consistente, incluso con el fracaso de los contables de la elección. Es decir, puede ser que no podemos elegir entre una contables de la familia de los no-vacía de conjuntos; pero que todavía son capaces de elegir entre una contables de la familia de los pares.

Así que no podemos demostrar absoluta de $\sf ZF$ o $\sf ZF+\lnot AC_\omega$, que una familia de pares de existir.

Todo lo que podemos decir es que, debido al trabajo de Cohen (y Fraenkel, Mostowski y Specker, hasta cierto punto, sabemos que suponiendo que una secuencia de pares existe no agregar una contradicción a $\sf ZF$, a menos que tal contradicción no existe ya. Esto es peor, ya que no hay "natural fracasos de la elección", que puede demostrar la existencia de dicho conjunto, otros que si se asume que existe.