La geometría de diffeomorphism

Question

Sólo tengo algunas preguntas generales acerca de diffeomorphisms:

1) ¿Cómo se puede interpretar geométricamente un diffeomorphism entre dos conjuntos en $\mathbb{R^{n}}$?

2) Normalmente morfismos preservar algún tipo de estructura. Más allá de la preservación de la topología como una homeomorphism, ¿qué hace un diffeomorphism conservar (si algo)?

3) ¿Qué efecto tiene el requisito de que los mapas de transición de un buen colector de ser diffeomorphisms tener en el geomotry del colector?

Answer 1

Diffeomorphisms de preservar el buen estructura del colector. Si los mapas de transición de un colector son sólo homeomorphisms en lugar de diffeomorphisms, entonces el colector es sólo un topológico colector en lugar de un fluido. Si tengo un homeomorphism entre abrir conjuntos de $\mathbb{R}^n$, es una diffeomorphism iff es suave en el cálculo de sentido.

No estoy seguro de si esto ayuda en todo. Si no, se puede aclarar lo de fondo que vienen con el?

Answer 2

Anuncio de 1: Considerar un mapa de $f\colon\ \Omega\to\Omega'$ que es sólo un homeomorphism o incluso un $C^1$ diffeomorphism, y asumir la $f(p)=q$. Al $f$ es sólo un homeomorphism, un pequeño $\epsilon$-vecindario $U_\epsilon$ de % de $p$ se asigna homeomorphically en un determinado barrio $V$ de % de $q$ bastante de forma arbitraria. Al $f$ es un diffeomorphism, a continuación, el incremento en el $f(p+X)-f(p)$ para las pequeñas $|X|$ es en primera aproximación lineal de la función de $X$; por lo tanto, $V=f(U_\epsilon)$ tendrá el aspecto de un elipsoide.

Anuncio 2: Un homeomorphism mapas de curvas en las curvas, y cuando dos curvas en algún punto de $p$, a continuación, sus imágenes se reunirá en $f(p)$, y eso es todo. Al $f$ es un diffeomorphism tiene sentido mirar en la dirección de la tangente (resp. en el vector de velocidad, cuando el tiempo está involucrado) de tales curvas. Cuando se cruzan de manera transversal en $p$, luego de que sus imágenes se cruzan de manera transversal en $f(p)$, y si son mutuamente tangentes en $p$, a continuación, sus imágenes serán tangente también.

Anuncio 3: El efecto es que usted puede hacer geometría diferencial en el colector $M$, incluso si usted no tiene un único sistema de coordenadas que cubre todos los de $M$ (como en el caso de una $\Omega\subset{\mathbb R}^n$). En particular, usted puede estudiar las órbitas de ecuaciones diferenciales $\dot x= X(x)$ donde $X(\cdot)$ es un campo de vectores en $M$. Gracias a las reglas de transformación para la tangente vectores no sólo la dirección de la $X$, pero también su "tamaño" tiene un significado invariante.