Convergencia/divergencia de la suma de $\sum_{n=2}^\infty 1/ \ln(n!) $

Question

Es la suma

$$ \sum_{n =2}^{\infty} \frac{1}{\ln n!} $$

convergente o divergente? He intentado diferentes métodos y no funciona. Tal vez la comparación con una divergente la serie va a trabajar? Estoy pensando que es divergente.

Answer 1

Es claro que $$n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n \le n \cdot n \cdot \dots \cdot n = n^n$$ y desde $\log$ es creciente, $\ln(n!) \le \ln(n^n) = n \ln n$. Tomando el recíproco, esto da $$\frac{1}{\ln(n!)} \ge \frac{1}{n \ln n}.$$ Pero al comparar a la integral $$\int_2^\infty \frac{dx}{x \ln x} = \int_2^\infty \frac{(\ln x)'}{\ln x} dx = [ \ln(\ln x)]_2^\infty = + \infty,$$ la serie $\sum \frac{1}{n \ln n}$ es divergente, por lo $\sum \frac{1}{\ln(n!)}$ es demasiado divergentes.