¿Cómo sabemos que todos los números alternan entre números pares y los impares?

Question

Básicamente, he intentado demostrar que la multiplicación de una extraña e incluso el número juntos te da un número a un amigo mío. Esto es lo que me dijo.

Primero vamos a echar un número aleatorio $k$. No importa si su par o impar. Si luego multiplicarlo por $2$, se obtiene un número par (a partir de la definición de un número, que es, básicamente, un número que puede ser dividido por $2$). Ahora sabemos que en el número de la línea, va impar, par, par, impar,..., y así, si añadimos $1$ a esto, a continuación, obtenemos un número impar. Ahora tenemos un número impar, y un número par y por lo tanto, permite multiplicar.

$$2k \cdot (2k + 1) = 2k(2k + 1) = 4k^2 + 2k) = 2(2k^2 + k)$$

Ahora tenemos un número aleatorio $(2k^2 + k)$ multiplicado por el $2$, por lo que este es un número par (por la definición de un número par).

Entonces, mi amigo dijo que nos hacen la suposición de que $2k \pm 1$ es extraño, porque el número de la línea de alterna entre números pares y los impares, ¿cómo sabemos que esto es cierto?

Yo estaba pensando en cómo probar esto. Sería por algún tipo de inducción?

EDIT: creo que tengo que cambiar el "número" a "entero" en este post yo no?

Answer 1

Yo no apelar al hecho de que los enteros se alternan entre pares e impares.

Yo diría esto:

Un número es definido como cualquier entero de la forma $2k$ $k$ cualquier entero (tal vez excluyendo $k=0$).

Un número impar es definido como cualquier entero de la forma $2k +1$ para cualquier entero $k$.

Usted puede tomar esto como la definición. Y, a continuación, (como) la prueba de que a veces extraño es justo $$ 2k(2k'+1) = 2[k(2k'+1)] $$ donde, por supuesto $k(2k'+1)$ es simplemente un entero.

Answer 2

Sí, usted puede comprobar esto por inducción.

La reclamación. $2\nmid 1$.

Prueba. Para enteros positivos, se tiene que $k\mid n$ implica $k\leq n$, ya que el $1<2$,$2\nmid 1$. Además, $1$ es el sucesor de $0$ $2$ es el sucesor de $1$, por lo tanto, el único no-negativos los números menores que $2$ $0,1$ y por lo tanto son los únicos posibles restos al dividir un entero positivo $k$ por $2$. $\square$

Lema. Si $k$ es incluso, a continuación, $k+1$ es impar, y si $k$ es impar, a continuación, $k+1$ es incluso.

Prueba. Si $k$ es incluso, a continuación,$2\mid k$, y, a continuación, $2\nmid k+1$ porque $2\nmid 1$; por lo tanto, $k+1$ es impar. Si $k$ es impar, a continuación, $2\nmid k$ y para el resto de $k$ cuando se divide por $2$$1$, lo $2\mid k+1$, y es incluso. $\square$

La reclamación. Cada $n\in\Bbb N$ es par o impar.

Prueba. Vamos a comprobar el uso completo de la inducción. Supongamos que para cada $k<n$ $k$ es impar o $k$ es incluso. En particular, esto es cierto para $k=n-1$. Si $k$ es incluso, a continuación, $k+1=n$ es impar; y si $k$ es impar, a continuación, $k+1$ es incluso. $\square$

La reclamación. Cada $k\in\Bbb Z$ es par o impar.

Prueba. Por lo anterior demanda que tiene de $k\geq 0$, e $2\mid k\iff 2\mid -k$, por lo que el reclamo es válido para cada entero. $\square$

Answer 3

Deje $a$ ser incluso.

Utilice el hecho de que $2\; \not \mid 1$. Así que si $2 \mid a$, (es decir, si a es par), $2 \not\mid (a + 1)$. Por lo tanto $a + 1$ es impar.

Entonces, ¿qué acerca de la $(a + 1) + 1$, el número inmediatamente siguiente impar $(a + 1)$, que a su vez sigue inmediatamente, incluso,$a$.

Bien, $(a + 1) + 1 = a + 2$, y desde $a$ es incluso, puede ser expresado como $a = 2k$ para algunos entero $k$. A continuación, $a + 2 = 2k + 2 = 2(k+1).$ Y claramente, $2\mid 2(k+1).$

Por lo tanto, $a$ incluso $\implies (a + 1)$ extraño $\implies (a + 2)$ incluso...

Answer 4

Usted puede probar por inducción que todos los enteros no negativos son de la forma $2n$ o $2n+1$ algunos $n$. Entonces usted puede demostrar que para enteros negativos, también.

Eso significa que los enteros que no son ni siquiera son de la forma $2n+1$.

Answer 5

Tenga en cuenta que, por definición, un entero $a\in{\mathbb{Z}}$ es impar si no es divisible por dos.
Por Euclidiana división tenemos que el resto $r$ de la división por $2$ de cualquier entero $n$ es tal que $0 \leq r < 2$. Por lo tanto $n$ es de la forma $2k$ o $2k + 1$ algunos $k\in{\mathbb{Z}}$.