Factorizations de etale morfismos

Question

Deje $f:X \rightarrow Y$ ser un finitely presentan separados etale de morfismos, con $Y$ quasicompact y quasiseparated.

Por Zariski principal del teorema, podemos factor de $f$ como $f= g \circ j$ con $j$ abierto de inmersión y $g$ finito.

Podemos elegir $g$ a ser etale?

Answer 1

No se puede esperar que haya un etale extensión. Aquí es un ejemplo.

Considerar los morfismos $f:\overline{X}:=\mathbb{A}^1\to \mathbb{A}^1=:Y$ definido por

$$f(x) = x^2(x-1).$$

Tenga en cuenta que $f$ sólo ramifies en $0$ e $2/3$ en $\overline{X}$. Definir $X:=\overline{X}\setminus\{0, 2/3\} \= \mathbb{A}^1\setminus \{0, 2/3\}$. Tenga en cuenta que $$f|_X: X\to Y$$ es surjective, tv, finito, de tipo cuasi-finito e incluso etale. (Acabamos de eliminar el punto de ramificación.)

No podemos extender $f|_X:X\to Y$ a de un número finito de etale de morfismos $X'\to Y$.

Si $X'\to Y$ es finita etale de morfismos y $X\to X'$ es un abierto de inmersión, a continuación, $X'\cong\overline{X} =\mathbb{A}^1$. La extensión de $X'\to Y$ tiene que ser igual al de morfismos $f:X\to Y$ (por separatedness de $X$ e $Y$), y por lo tanto no etale.