Mostrar que para $a_i>0$ $\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}$ converge a $0$ si y sólo si $\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}$ converge a $0$.

Question

Deje $\{a_n\}$ ser claramente delimitado y de secuencia positiva. Mostrar que

$$\lim_{n\to \infty}\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=0$$ si y sólo si $$\lim_{n\to \infty}\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}=0.$$

Mi intento:

El "$\Rightarrow$" es obvio. Tenga en cuenta que $$\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}\leq |M|\cdot\frac{a_1+\cdots+a_n}{n} $$ donde $|M|$ es el límite de la secuencia. Por lo que la convergencia de la derecha implica la convergencia de la izquierda.

Como la inversa de la dirección, realmente no tengo idea...

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@kimchi amante puntos a cabo utilizando el Cauchy-Schwarz desigualdad y tuve el siguiente intento...

$$\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}(a_1+\cdots+a_n)}{\frac{1}{\sqrt{n}}n}\leq \frac{(a_1^2+\cdots+a_n^2)(\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n})}{\sqrt{n}}$$

Answer 1

Por Cauchy-Schwarz desigualdad, $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cdot a_k \leq \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}\cdot \sqrt{\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2}} = \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}\cdot\sqrt{\frac{1}{n}} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k^2} $$ y se puede concluir por el teorema del sándwich.