Courant (1943) y Historia del Método del Elemento Finito

Question

Estoy interesado en la historia de los Métodos de Elementos Finitos y los Métodos de Residuos Ponderados (MWR), especialmente en métodos de cuadratura reducida y colocalización. Tengo un artículo llamado "Orthogonal Collocation Revisited" que tiene una breve sección sobre la historia de MWR y los métodos de colocalización. Estará disponible por un corto tiempo en https://authors.elsevier.com/a/1YHLy_12dr4lJw

He encontrado y leído 7 artículos sobre la historia de FEM y algunas presentaciones. Un artículo citado frecuentemente como "el primero" es el artículo de Courant de 1943 (basado en la presentación de 1941) "Métodos Variacionales para la Solución de Problemas de Equilibrio y Vibraciones". Parece que el apéndice del artículo es responsable de su citación como el primer artículo de elementos finitos. En el apéndice trata un problema de torsión, primero utilizando un método de Raleigh-Ritz con funciones de prueba globales simples de uno y dos términos. Luego verifica los resultados con un método de diferencias finitas en mallas de triángulos. No da detalles de los cálculos. También afirma:

“…. [el método de diferencias finitas] es obviamente adaptable a cualquier tipo de dominio. Mucho más que el procedimiento de Raleigh-Ritz en el que la construcción de funciones admisibles generalmente ofrecería obstáculos decisivos.”

Dado que no usa un método variacional en mallas de triángulos y parece pensar que esto sería difícil, ¿por qué el artículo se considera el primer artículo sobre FEM?

---

Este tema parece haber generado cierto interés, así que he agregado enlaces a parte de la información que encontré en línea. Creo que las discusiones más imparciales son las de Gupta y Meek y Oden.

Courant (1943) - http://mmph.narod.ru/doc/Courant.pdf

Strang (1973) - https://www.ams.org/journals/bull/1973-79-06/S0002-9904-1973-13351-8/S0002-9904-1973-13351-8.pdf

Williamson (1980) – https://ac.els-cdn.com/0315086080900014/1-s2.0-0315086080900014-main.pdf?_tid=60ec706d-33c0-4a27-b12e-9ac238c02390&acdnat=1549411660_5eb6ff6a29a71e8240751fc767691766

Oden (1987) - http://www.ce.memphis.edu/7117/notes/presentations/papers/Oden%20(1987)%20Historical%20Comments%20on%20Finite%20Elements.pdf

Gupta and Meek (1996) - http://people.sc.fsu.edu/~jpeterson/history_fem.pdf

Zienkiewicz (2004) – https://rodas5.us.es/file/3ca5a32a-9e22-ebb2-932e-1ce08a4ce607/1/birth_SCORM.zip/files/birth.pdf

Clough (2004) - https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/nme.962

Samuelsson and Zienkiewicz (2006) - http://materiales.azc.uam.mx/gjl/Clases/EF10/2006_SamuelssonandZienkiewicz_History%20of%20the%20stiffness%20method.pdf

Gander and Wanner (2012) - https://www.unige.ch/~gander/Preprints/Ritz.pdf , Presentación - http://www-sop.inria.fr/nachos/seminars/2010/MGander-2010.pdf (esta es una de varias presentaciones de estos autores, ten cuidado con el alemán, francés, ruso ...)

Finlayson and Scriven (1966) historia temprana de los Métodos de Residuos Ponderados - http://faculty.washington.edu/finlayso/MWR-AReview.pdf

Answer 1

Porque lo es.

En Métodos Variacionales para la Solución de Problemas de Equilibrio y Vibraciones, R. Courant dio un ejemplo de la formulación variacional para el problema de flexión de placas (Sección I). Después de elaborar la conexión con una clase de problema de minimización, presentó un método para aproximar este problema numéricamente en la Sección II:

Para construir una secuencia convergente de funciones, cada una de las cuales puede escribirse como una combinación lineal finita de funciones de base.

Esencialmente, esta es el alma del Método de Elementos Finitos (FEM), que utiliza un conjunto de funciones de base y no valores nodales, al menos en mi opinión.

Incluso mencionó algunos fenómenos en la página 11 que los estudiantes aprenderían en una clase de elementos finitos del año 2000: la convergencia depende del espacio de aproximación que elijas (llamada consistencia), pero también depende del problema en sí mismo (estabilidad del operador diferencial). Utilizó el ejemplo de un problema de cuarto orden planteando una tarea numérica mucho más desafiante que un problema de segundo orden.

Además, técnicamente hablando, no es diferencia finita lo que Courant revisó en el apéndice, ya que el método de "diferencia finita generalizada" no utiliza valores nodales, sino que utiliza la expansión de la función de aproximación en un conjunto de funciones de base.

Estoy convirtiendo esta publicación en un wiki comunitario para que todos puedan compartir sus pensamientos al respecto.

Answer 2

Creo que puedo responder mi propia pregunta. Aún me gustaría escuchar otros comentarios sobre este tema. Como estaba interesado en el FEM, no leí la sección III de diferencias finitas del artículo a fondo la primera vez.

Antes de 1943, había muchos usos de métodos de residuos variacionales o ponderados para resolver ecuaciones diferenciales, pero utilizaban funciones globales de prueba o de base (generalmente trigonométricas o polinómicas). En mi opinión, se convirtió en FEM cuando estos métodos se combinaron con funciones de prueba por partes. Según entiendo, los primeros trabajos de ingeniería (por ejemplo, Turner, Clough, Martin y Topp (1956)) construyeron sus aproximaciones utilizando argumentos heurísticos y no principios variacionales. Aparentemente, Melosh (1963) fue el primero en descubrir que las aproximaciones eran equivalentes a los métodos variacionales.

Muchas de las historias discuten el ejemplo en el apéndice del artículo de Courant, que (como menciono en mi publicación original) discute el método variacional con funciones globales de prueba y diferencias finitas en una malla triangular. Sin embargo, la discusión clave en el artículo de Courant no es el apéndice, sino que en la página 15 menciona:

“Si los problemas variacionales contienen derivadas no superiores al primer orden, el método de diferencias finitas puede ser subordinado al método de Rayleigh-Ritz considerando en la competencia solo funciones [phi] que son lineales en las mallas de una subdivisión de nuestra red en triángulos formados por diagonales de los cuadrados de la red.”

Si se refiere al primer orden en la forma débil, entonces se aplicaría a ecuaciones diferenciales de segundo orden y sería la base del método de elementos finitos. Si ese es el caso, ¿por qué no lo usó en el Apéndice? ¿Por qué hace varias afirmaciones sobre la dificultad de construir funciones de base admisibles?

El artículo de Gupta y Meek considera que no hubo un solo "primero", sino que varios artículos contribuyeron a la metodología. El artículo de Oden parece tener una opinión similar. Creo que es justo decir que el artículo de Courant fue una de esas contribuciones, pero no el único "primero".