Esta integral también fue publicado recientemente en otros sitios como AoPS, pero ya que no obtener una respuesta que yo pensaba que nadie mentes si he puesto esto aquí también. $$I=\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(5-4\cos(2x))}$$ I no tienen ningún intento exitoso que conducen en realidad a algo relevante, pero me encantaría ver una forma cerrada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por supuesto que tiene una bonita forma cerrada. Desde $$ \frac{1}{5-4\cos(2x)} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(2nx)}{2^n}\tag{1} $$ y $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(2nx)}{1+x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}e^{-2n}\tag{2}$$ tenemos $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)(5-4\cos(2x))}=\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}\sum_{n\geq 1}\frac{\pi}{2^{n+1}}e^{-2n}=\color{red}{\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2e^2+1}{2e^2-1}}.\tag{3} $$ La misma técnica puede ser utilizada para el cómputo de los $ \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^m (5-4\cos(2x))^n}$, demasiado.
