Hallar el máximo número entero positivo que divide $n^7+n^6-n^5-n^4$

Question

Hallar el máximo número entero positivo que divide a todos los números de la forma $$n^7+n^6-n^5-n^4 \ \ \ \mbox{with} \ n\in\mathbb{N}-\left\{0\right\}.$$

Mi intento

Puedo factorizar el polinomio

$n^7+n^6-n^5-n^4=n^4(n-1)(n+1)^2\ \ \ \forall n\in\mathbb{N}.$

Si $n$ es incluso entonces existe $\,k\in\mathbb{N}-\left\{0\right\}\,$ tal que $n=2k.\;$ Así que..:

$n^4(n-1)(n+1)^2=2^4 k^4(2k-1)(1+2k)^2$

Si $n$ es impar entonces existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $n=2k+1$ así que

$$n^4(n-1)(n+1)^3=2^3(2k+1)^4(k+1)^2$$

¿Puedo concluir que el máximo número entero positivo que divide a todos estos números es $N=2^3?$ (Por favor, ayúdenme también a mejorar mi inglés, ¡gracias!)

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Nota: corrijo mi "solución" después de una corrección... Cometí un error :\

Answer 1

Podemos usar un poco de sentido común.

Si $n$ es incluso $16|n^4$ . Pero si $n$ es impar entonces $2\not \mid n^4$ . Sin embargo $n+1$ y $n-1$ son ambos incluso así $2^3|(n-1)(n+1)^2$ . Pero si $n$ es impar, entonces $n + 1$ o $n -1$ es divisible por $4$ así que $2^4|(n-1)(n+1)^2$ . Así que $2^4$ dividirá todos esos números.

¿Puede algún poder superior de $2$ ¿dividirlo? ¿Por qué deberían hacerlo? Ejemplo: si $n=2$ entonces el número es $16*1*3^2$ que no es divisible por ningún poder superior.

Pero, ¿hay otros factores que deban dividirla? O bien $n$ o $n-1$ o $n+1$ es divisible por $3$ así que $3|n^4(n-1)(n+1)^2$ . Pero si $3|n-1$ entonces $1$ es la única potencia garantizada de $3$ que divide. (si $n-1 = 3$ entonces $9 \not \mid n^4(n-1)(n+1)^2$ .

Así que $3*2^4$ siempre será un factor.

¿Hay algún otro factor primo que deba ocurrir? Bueno, si $p$ es un primo $p > 3$ y si dejamos que $n-1 = p+1$ tenemos $n^4(n-1)(n+1)^2 = (p+2)^2(p+1)*(p+3)^2$ y $p$ no es un factor.

Así que $48 = 3*2^4$ el mayor número entero que debe dividir a todos los $n^4(n-1)(n+1)^2$ .

Answer 2

Realmente sugiero hacer algunos cálculos. A mano. Con los cuatro números siguientes, sabemos que la respuesta final es $48$ o un divisor del mismo. Veo que Donald ha demostrado que $48$ siempre divide al polinomio, así que esa es tu respuesta.

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2  poly  144 =  2^4 3^2   gcd so far  144
3  poly  2592 =  2^5 3^4   gcd so far  144
4  poly  19200 =  2^8 3 5^2   gcd so far  48
5  poly  90000 =  2^4 3^2 5^4   gcd so far  48

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Hice que el ordenador factorizara cada número a efectos ilustrativos, y esa factorización no sería difícil a mano, ya que el polinomio se factoriza muy bien. Sin embargo, no era necesario factorizar los números individuales con el fin de mantener un cálculo en ejecución de la gcd.

Answer 3

Tenemos $3$ números consecutivos por lo que uno de ellos dará un factor de $3$ . Si $n$ es par entonces $n$ dará un factor de $16$ . Si $n$ es impar entonces $(n-1)$ y $(n+1)$ serán ambos pares y si $(n+1)^2$ sólo da $2$ factores de $2$ entonces $(n-1)$ será divisible por $4$ Así que $(n-1)(n+1)^2$ será divisible por $16$ .

Así que $\color{red}{48}$ siempre dividirá $n^7+n^6-n^5-n^4$ .

Answer 4

Fórmula de interpolación de Newton da $$ n^7+n^6-n^5-n^4 =144 \binom{n}{2}+ 2160 \binom{n}{3}+ 9696 \binom{n}{4}+ 18480 \binom{n}{5}+ 15840 \binom{n}{6}+ 5040 \binom{n}{7} $$ El gcd de los coeficientes en la representación binomial es $48$ y así $n^7+n^6-n^5-n^4$ es siempre múltiplo de $48$ .

$48$ es el mayor factor de todos los valores de $n^7+n^6-n^5-n^4$ porque es el gcd de los valores de $n=2$ y $n=4$ .

Answer 5

Sin utilizar el enlace que te he dado (que, por cierto, es exagerar el problema), puedes ver que $2^4$ divide $$f(n):=n^7+n^6-n^5-n^4=(n-1)\,n^4\,(n+1)^2$$ considerando el caso $n$ es impar y el caso $n$ es par. Dado que $n-1$ , $n$ y $n+1$ son números enteros consecutivos, $3$ debe dividir $f(n)$ . Es decir, $2^4\cdot 3=48$ debe dividir $f(n)$ para todos $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ . Usando la respuesta de Will Jagy, deberías ser capaz de deducir que $48$ es efectivamente el GCD de $f(n)$ para todos $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ .

Sin embargo, si desea utilizar el método dado en ese enlace se puede demostrar que $f(n)$ es igual a $$72\cdot 2!\cdot\binom{n}{2}+360\cdot 3!\cdot\binom{n}{3}+404\cdot4!\cdot\binom{n}{4}+154\cdot5!\cdot\binom{x}{5}+22\cdot6!\cdot\binom{n}{6}+7!\cdot\binom{n}{7}\,.$$ Entonces, el máximo común divisor de los coeficientes $72\cdot 2!$ , $360\cdot 3!$ , $404\cdot 4!$ , $154\cdot 5!$ , $22\cdot 6!$ y $7!$ es igual a $$\gcd\big(72\cdot 2!,360\cdot3!,404\cdot 4!\big)=48\,.$$ Esta es la contenido modificado de $f(n)$ tal como se define en el enlace arriba.

P.D: Sé que otras personas han respondido más o menos a su pregunta, pero estoy ilustrando cómo utilizar el método más general dado en mi enlace . Puedes utilizar esta solución para otros polinomios de valor entero.