Fuerte convergencia del operador de una serie incontable.

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach y $\{T_{\alpha}\}_{\alpha\in I}\subset B(X)$ ser un (posible incontables) de la familia de los delimitada lineal de operadores en $X$ tal que $\sum T_{\alpha}$ converge a la identidad del operador en el fuerte del operador de la topología. Esto significa que $\sum T_{\alpha} x=x \ \forall x\in X$. Sabemos que para cualquier summable series, pero countably muchos de los términos que deben ser $0$. Por lo tanto para cada $x\in X$, $T_{\alpha}x=0$ para todos, pero countably muchos términos.

Podemos entonces concluir que todos, pero countably muchas de las $T_{\alpha}$ sí se $0$? Esto sucede, por ejemplo si $X$ es un espacio de Hilbert separable. ¿Qué hay acerca de Banach separable espacio? Hay un ejemplo de un espacio donde esto no suceda?

Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $X=\ell_2(\omega_1)$ donde $\omega_1$ es el primer innumerables ordinal. Para cada una de las $\gamma<\omega_1$ deje $T_\gamma$ ser la proyección ortogonal en la línea generada por $e_\gamma$. A continuación, $\sum_{\gamma}T_\gamma$ converge a la identidad en el fuerte del operador de la topología.

¿Cuál es su argumento de que es imposible en un espacio de Hilbert separable?

Answer 2

Es cierto para los espacios de Banach separables así. Deje $(x_i)_{i\in\mathbb N}$ ser un subconjunto denso de $X$. Deje $J_i\subset I$ ser contables tal que $T_\alpha x_i = 0$ si $\alpha \notin J_i$. A continuación, $J := \bigcup_{i\in \mathbb N}J_i$ es contable. Si $\alpha\in I\setminus J$ entonces $T_\alpha x_i = 0$ para todos los $i\in\mathbb N$, por lo tanto, por countinuity, para todos los $x\in\overline{\{x_i~\vert~ i\in\mathbb N\}} = X$. Llegamos a la conclusión de $T_\alpha = 0$ por cada $\alpha\in I\setminus J$.