Rotar los números complejos para maximizar la suma de los abdominales de la parte real

Question

En un programa reciente me encontré con el siguiente reto:

Cuál es el ángulo $\phi$ números complejos $a_1 .. a_n$ tienen que girar para maximizar la suma de los absoluto ¿valor de las partes reales?

$a_n\in\mathbb{C}$

$f(\phi)=\sum_\limits{n} \big|\text{Re}( a_ne^{i\phi})\big|$

Maximizar f con respecto a $\phi$ .

¿Existe una solución elegante?

Answer 1

Idea: Consideremos el caso simple con dos números complejos $a_1$ y $a_2$ . Un argumento de simetría sugiere que la rotación por $\phi$ de $a_1$ y $a_2$ para maximizar \begin {align*} | \text {Re}(a_1e^{i \phi })|+| \text {Re}(a_2e^{i \phi })| \rightarrow \max \end {align*} corresponde a la rotación por $\phi$ de $a_1+a_2$ que según la ley del paralelogramo también obtiene el máximo.

Afirmamos que lo siguiente es válido: Sea $\phi\in[0,2\pi)$ . Entonces \begin {align*} &| \text {Re}(a_1e^{i \phi })|+| \text {Re}(a_2e^{i \phi })| \rightarrow \max\\ & \qquad\qquad\Longleftrightarrow\\ &| \text {Re}((a_1+a_2)e^{i \phi })| \rightarrow \max\\ \end {align*} Si podemos demostrar esta afirmación, entonces la generalización con $n$ números complejos se sigue por inducción.

Por lo tanto, para encontrar el máximo $\phi$ entonces podemos simplemente añadir todos los $n$ números complejos y girar la suma resultante hasta que esté en el $x$ -eje, es decir, la parte imaginaria es cero.

Afirmamos: El máximo de $$\sum_{k=1}^n|\text{Re}\left(a_ke^{i\phi}\right)|$$ se obtiene mediante \begin {align*} \phi =- \arg\left ( \sum_ {k=1}^na_k \right ) \end {align*}

Answer 2

Lo más obvio es resolver primero todo

$$Re(a_n \exp(i\phi)) = 0$$

para dividir el círculo en $2n$ intervalos por $\phi_n$ (suponiendo que todos los $a_n$ tienen argumentos diferentes), en cada intervalo los signos $s_n \in \{-1, 1\}$ de $Re(...)$ será constante. Entonces

$$f(\phi) = \sum_n |Re(a_n \exp(i\phi))|$$ $$f(\phi) = \sum_n s_n Re(a_n \exp(i\phi))$$ $$f(\phi) = \sum_n Re(s_n a_n \exp(i\phi))$$ $$f(\phi) = Re(\sum_n s_n a_n \exp(i\phi))$$ $$f(\phi) = Re((\sum_n s_n a_n) \exp(i\phi))$$

Maximizar estos en cada intervalo de $\phi$ y luego sólo hay que comparar (para todas las combinaciones de signos).

Alternativamente, deja que $a_n = A_n \exp(-i\theta_n)$ entonces

$$f(\phi) = \sum_n A_n |Re(\exp(i(\phi-\theta_n)))|$$

$$f(\phi) = \sum_n A_n |(\cos(\phi-\theta_n)|$$

$$f(\phi) = \sum_n A_n |\cos(\phi)\cos(\theta_n) + \sin(\phi)\sin(\theta_n)|$$

$$f(\phi) = \cos(\phi) \sum_n s_n A_n \cos(\theta_n) + \sin(\phi) \sum_n s_n A_n \sin(\theta_n))$$

y aplicar el mismo método.