Cuántos cubos perfectos hay entre$2^8+1$ a$2^{18}+1$ (inclusive)

Question

Cuántos cubos perfectos hay entre $2^8+1$ a $2^{18}+1$ (inclusive)

$2^9,2^{12},2^{15},2^{18}$ son todos cubos perfectos. hay muchos otros. Intento usar el módulo 2 .pero no funcionará, y ningún otro método que intenté no me lleva a ninguna parte

¿Algunas ideas?

Answer 1

Insinuación:

Para cada entero positivo $x$ : $$2^8+1\le x^3\le2^{18}+1\iff\sqrt[3]{2^8+1}\le x\le \sqrt[3]{2^{18}+1}\iff 7\le x\le 2^6$ $

Answer 2

Una manera de conseguir alrededor de su muy limitado sentido humano de los números es tomar ventaja de los logaritmos y raíces cada vez que puede.

Para problemas como el que usted está tratando de hoy, lo que usted necesita es el cálculo de la raíz cubica. Por ejemplo, $10$ no es un cubo perfecto, pero vemos que la $\root 3 \of {10} \approx 2.15$, y luego comprobamos que $2^3 < 10 < 3^3$. Lo que es más, este "$\approx 2.15$" debe decirle que $10$ es mucho más cercana a la siguiente inferior cubo perfecto de lo que es el lado superior del cubo.

Así que para solucionar tu problema, necesitas encontrar ese $\root 3 \of {2^8 + 1} \approx 6.35$ e $\root 3 \of {2^{18} + 1} \approx 64.00008$.