El álgebra de grupo real del grupo de cuaterniones de orden $8$ es la suma directa de $4$ copias del campo real y una copia del $4$ -álgebra de división de cuaterniones reales.
Edición posterior : Aquí hay una prueba de la afirmación de que un grupo finito $G$ con un grupo reducido de álgebra $KG$ para $K$ un campo de característica cero es hamiltoniano. Por inducción, podemos suponer que $G/N$ es hamiltoniano siempre que $1 \neq N \lhd G.$
Supongamos primero que $G$ tiene un único subgrupo normal mínimo $M.$ Entonces $G$ tiene un irreductible fiel $KG$ -Módulo $V$ y $G$ se incrusta en el grupo multiplicativo de un álgebra de división. Ahora todo subgrupo Sylow de $G$ es cíclico o cuaternión generalizado, y si $G$ tiene un orden par, entonces $G$ tiene una involución única. Si $G$ tiene orden de impar, entonces $G$ tiene un Sylow normal $p$ -subgrupo para algún primo $p.$ En todos los casos, $M$ debe ser cíclico de orden primo, $q$ decir. Ahora $C_{G}(M)$ es nilpotente, ya que $G/M$ es nilpotente. Sea $r$ sea un divisor primo de $[G:C_{G}(M)].$ Entonces $r$ divide $q-1$ y todos los subgrupos de $G$ de orden $qr$ son abelianas por un resultado de Burnside. Por lo tanto, $C_{G}(M)$ contiene un subgrupo cíclico de orden $qr$ que contiene $M.$ Desde $G/M$ es hamiltoniano, este subgrupo es normal en $G,$ así que $G$ tiene un subgrupo normal de orden $r$ . Esto contradice el hecho de que $M$ es el único subgrupo normal mínimo de $G.$ Por lo tanto, $M \leq Z(G),$ y $G$ es nilpotente.
Si $G$ tiene dos subgrupos normales mínimos $L$ y $T,$ entonces $G/L$ y $G/T$ son ambos nilpotentes, y por lo tanto también lo es $G.$
En cualquier caso, entonces, $G$ es nilpotente, y todos los subgrupos normales mínimos de $G$ son centrales, y de orden primo. Sea $H$ sea un subgrupo de $G$ que no es normal. Entonces $H$ es libre de núcleo, ya que si $C = \cap_{g \in G}H^{g},$ y $C \neq 1,$ entonces $G/C$ es hamiltoniano y $H \lhd G.$
Dejemos que $x \in H$ ser de orden primo. Entonces, siempre que $1 \neq N \lhd G,$ tenemos que $xN \in Z(G/N)$ . Por lo tanto, $[G, \langle x \rangle ] \leq N.$ Por lo tanto, $G$ debe tener un único subgrupo normal mínimo, ya que en caso contrario $x \in Z(G),$ una contradicción. Dado que $G$ es nilpotente, $G$ es ahora un $q$ -para algún primo $q.$ También, $G$ se incrusta en el grupo multiplicativo de un álgebra de división, por lo que $G$ es cíclico o cuaternión generalizado. Por lo tanto, podemos suponer que $q =2,$ y que $G$ es un cuaternión generalizado. Si $|G| >8,$ entonces $G$ tiene un grupo diedro de orden $8$ como imagen homomórfica, una contradicción, como grupo diédrico de orden $8$ no es hamiltoniano. Por lo tanto, $G$ es cíclico o cuaternión de orden $8,$ y la prueba está completa.
