Cómo encontrar los ángulos que faltan en un cuadrilátero

Question

Tengo un cuadrilátero ABCD , con diagonales AC y BD . Se dan cuatro ángulos: DAC \= 20°, CAB \= 60°, ABD \= 50°, y DBC \= 30°.

Esos son los ángulos rojos en la imagen de arriba.

Tengo que rellenar todos los demás ángulos. La mayoría son triviales -los ángulos en azul- pero ¿cómo encuentro BDC y ACD ? Su suma es 110, obviamente, pero no puedo averiguar cómo encontrar los ángulos individuales.

Edit : Nótese que los ángulos rojos son ejemplos; estoy buscando una solución general dado cualquier valor para estos ángulos que formen un cuadrilátero convexo. (Lo hacen si DAC + CAB + ABD < 180° y CAB + ABD + DBC < 180; en ese caso se pueden dibujar triángulos ABD y ABC y luego el cuadrilátero ABCD .)

Answer 1

Tengo cuatro soluciones diferentes y una general para este problema, espero que te ayude.

Answer 2

Utilizar el teorema del seno para $\Delta ABC$ y $\Delta ACD:$ $$\frac{AB}{\sin{40}}=\frac{AC}{\sin{80}}$$ $$\frac{AD}{\sin{ACD}}=\frac{AC}{\sin{(20+ACD)}}$$ Anotar $AB=AD$ podemos encontrar $mACD=30, mBDC=80$ .

Answer 3

Dejemos que $AC\cap DB=\{F\}$ y $L\in FC$ tal que $\measuredangle ABL=60^{\circ}$ .

Además, deja que $BL\cap AD=\{G\}$ .

Desde $\measuredangle DAB=\measuredangle CBA$ vemos que $GC||AB$ y desde aquí $GC=GL=LC$ .

Ahora bien, como $\measuredangle DBA=\measuredangle ADB=50^{\circ}$ obtenemos: $AL=AB=AD$ que dice que $\measuredangle ADL=\frac{180^{\circ}-20^{\circ}}{2}=80^{\circ}$ y como $\measuredangle AGB=180^{\circ}-80^{\circ}-60^{\circ}=40^{\circ}$ ,

obtenemos: $\measuredangle GLD=40^{\circ}$ que dice que $DG=DL$ .

Pero también $GC=CL$ , lo que da como resultado que $DC$ es una bisectriz de $\angle GCL$ .

Así, $\measuredangle DCA=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ}$ y el resto es suave.

Answer 4

Un cálculo numérico utilizando las leyes de Sines y Cosenos rinde $\angle ACD=30^{\circ}$ y $\angle BDC=80^{\circ}$ .

Sea la intersección de $AC$ y $BD$ sea $E$ y, wlog, que $AB=1$ .

\begin{align} AD &= \frac{\sin 50^{\circ}}{\sin 50^{\circ}} = 1 \\ DE &= AD\frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 110^{\circ}} = 0.36397023426620234 \\ BC &= \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 1.3472963553338608 \\ CE &= BC\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 110^{\circ}} = 0.71688141714205145 \\ CD &= \sqrt{CE^2+DE^2-2\times CE\times DE\times\sin 70^{\circ}} = 0.68404028665133743 \\ \angle ACD &= \arcsin\big(\frac{DE}{CD}\sin 70^{\circ}\big) = 29.999999999999996 \\ \angle BDC &= \arcsin\big(\frac{CE}{CD}\sin 70^{\circ}\big) = 79.999999999999986 \end{align}

Tenga en cuenta que $\angle DAB = \angle ABC$ . No estoy seguro de cómo utilizar esto para llegar a una solución elegante, pero estoy seguro de que una solución no computacional se utilizar tanto esta observación como $AB=AD$ de forma no trivial.

Tenga en cuenta también que, post-factum , $CD$ es tangente a la circunferencia de $\triangle ABD$ (porque hemos calculado que $\angle ACD=\angle BAD$ ).

Answer 5

Si se extienden AD y BC para que se encuentren en E, esto se convierte en el famoso problema de los "ángulos adventicios de Langley". He visto al menos cuatro pruebas (que no son pruebas que utilizan aplicaciones numéricas de la ley de los cosenos) que derivan el ángulo ACD. Una buena es esta:

Dibuje una línea que se encuentre con AB en A y con BC en F de manera que el ángulo BAF sea $20^\circ$ . Por lo tanto AB = AF, y el ángulo CAF es $40^\circ$ .

El ángulo ABD y el ángulo ADB son ambos $50^\circ$ por lo que AD = AB, por lo tanto AF = AD. En el triángulo AFD, los lados AF y AD son iguales y se encuentran en un ángulo de $60^\circ$ por lo que el triángulo AFD es equilátero y AF = FD.

Ángulo FBC = $80^\circ - 20^\circ - 20^\circ = 40^\circ$ . En el triángulo ACB el ángulo ACB es $180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 40^\circ$ . Entonces el triángulo AFC es isósceles y CF = AF. Entonces CF = FD.

Esto demuestra que el triángulo CFD es isósceles y los ángulos FCD y FDC son iguales. El ángulo CFD es $180^\circ$ menos el ángulo AFD menos el ángulo AFB que es $180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 40^\circ$ . Así que el ángulo FDC = el ángulo FCD = $70^\circ$ .

Finalmente, como el ángulo ACD más el ángulo ACF suman $70^\circ$ El ángulo es $30^\circ$ (y el ángulo ADC es $80^\circ$ ).