Fórmula del determinante de la matriz en bloque

Question

Me he encontrado varias veces con un enunciado mientras probaba el determinante de una matriz de bloques.

$$\det\pmatrix{A&0\\0&D}\; = \det(A)\det(D)$$

où $A$ es $k\times k$ y $D$ es $n\times n$ matriz. ¿Cómo se demuestra esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Este es un resultado más general $$\det\pmatrix{A&B\\0&D} = \det A\det D$$ y para demostrarlo fíjate que

$$\pmatrix{A&B\\0&D}=\pmatrix{I_k&0\\0&D}\pmatrix{A&B\\0&I_n}$$ y nos desarrollamos a lo largo del $k$ primeras filas encontramos $$\det\pmatrix{I_k&0\\0&D}=\det D$$ y a lo largo del último $n$ filas encontramos $$\det\pmatrix{A&B\\0&I_n}=\det A$$ y el resultado es el siguiente.

Answer 2

Si tus matrices tienen coeficientes en un dominio integral, puedes pasar al campo de las fracciones y tomar un cierre algebraico para usar la forma canónica de Jordan, en cuyo caso esta ecuación se vuelve trivial ya que ambos lados de la ecuación son el producto de los productos de los valores propios de $A$ y $D$ .

Si no, se puede utilizar la expansión de Laplace y observar que la suma va sobre todas las permutaciones de $S_{k+n}$ en cuyo caso los únicos términos que "sobreviven" son las permutaciones que mapean $\{ 1,\cdots, k\}$ a sí mismo y $\{k+1,\cdots,k+n\}$ a sí mismo. Entonces se puede dividir la suma en dos partes y obtener $\det(A) \det(D)$ . Esta prueba funciona sobre cualquier anillo (conmutativo).

Espero que eso ayude,