Para$n>2, n\in\mathbb{Z}$, ¿por qué esto es verdad:$\left\lfloor 1/\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\right)\right\rfloor=2n-3$

Question

Deje que$n>2$ sea un entero positivo, demuestre que$$\left\lfloor \dfrac{1}{\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\dfrac{1}{(n+n)^2}}\right\rfloor=2n-3?$ $

antes de usar el cálculo de la mano$n=2,3,4$, tal vez calculé un error, ¡no puedo usar la computadora!

así que tal vez este resultado es correcto. Pero, ¿cómo probar la afirmación?

Answer 1

Dejar $f(n) = \dfrac1{n^2} + \dfrac1{(n+1)^2} + \cdots + \dfrac1{(2n)^2}$. Entonces tenemos$$\int_{n-1}^{2n} \dfrac{dx}{x^2} > \dfrac1{n^2} + \dfrac1{(n+1)^2} + \cdots + \dfrac1{(2n)^2} \geq \int_n^{2n+1} \dfrac{dx}{x^2}$ $ Esto nos da$$\dfrac1n-\dfrac1{2n+1} < f(n) < \dfrac1{n-1} - \dfrac1{2n} \implies \dfrac{n+1}{n(2n+1)} < f(n) < \dfrac{n+1}{2n(n-1)}$ $ Por lo tanto, tenemos$$\dfrac{2n^2-2n}{n+1}< \dfrac1{f(n)} < \dfrac{2n^2+n}{n+1} \implies 2n - \dfrac{4n}{n+1} < \dfrac1{f(n)} < 2n - \dfrac{n}{n+1}$ $ Un enlace más estricto utilizando este enfoque integral ( ala Euler-Maclaurin ) debe proporcionar la respuesta.

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EDITAR Para una respuesta más precisa, tenemos \begin{align} f(n) & = \int_{n^-}^{2n^+} \dfrac{d\lfloor x \rfloor}{x^2} = \left.\dfrac{\lfloor x \rfloor}{x^2} \right \vert_{n^-}^{2n^+} + \int_{n^-}^{2n^+} \dfrac{2\lfloor x \rfloor}{x^3}dx =\dfrac1{2n} - \dfrac{n-1}{n^2} + \int_{n^-}^{2n^+}\dfrac{2x-2\{x\}}{x^3}dx\\ & = \dfrac{n-2n+2}{2n^2} + \dfrac1n - 2\int_{n^-}^{2n^+} \dfrac{\{x\}}{x^3}dx = \dfrac{n+2}{2n^2} - 2\int_{n^-}^{2n^+} \dfrac{\{x\}-1/2}{x^3}dx -\int_{n^-}^{2n^+} \dfrac{dx}{x^3}\\ & = \dfrac{n+2}{2n^2} - 2\int_{n^-}^{2n^+} \dfrac{\{x\}-1/2}{x^3}dx -\dfrac3{8n^2} = \dfrac1{2n} + \dfrac5{8n^2} + \mathcal{O}(1/n^3) = \dfrac1{2n}\left(1+\dfrac5{4n} + \mathcal{O}(1/n^2)\right) \end {align} Esto significa$$\dfrac1{f(n)} = \dfrac{2n}{1+\dfrac5{4n} + \mathcal{O}(1/n^2)} = 2n\left(1-\dfrac5{4n} + \mathcal{O}(1/n^2)\right) = 2n-\dfrac52 + \mathcal{O}(1/n)$ $ Por lo tanto, tenemos$$\left\lfloor \dfrac1{f(n)} \right\rfloor = 2n-3$$ eventually (in fact for $ n> 4 $).

Answer 2

Asintóticamente, $$ \sum_{i=n}^{2n} \dfrac{1}{i^2} = \dfrac{1}{2n} + \dfrac{5}{8n^2} + O(1/n^3)$$ así $$ \dfrac{1}{\displaystyle\sum_{i=n}^{2n} \dfrac{1}{i^2}} = 2n - \dfrac{5}{2} + O(1/n) $$

Por tanto, su ecuación será cierto para suficientemente grande $n$. Con lo suficientemente bueno límites explícitos en el $O(1/n^3)$ plazo, usted debe ser capaz de demostrar que es verdadera para todos los $n \ge 5$.

EDIT: Por una explícita límite superior, ya que $1/x^2$ es convexa, $$\dfrac{1}{i^2} \le \int_{i-1/2}^{i+1/2} \dfrac{dt}{t^2}$$ así $$ \sum_{i=n}^{2n} \dfrac{1}{i^2} \le \int_{n-1/2}^{2n+1/2} \dfrac{dt}{t^2} = \dfrac{4(n+1)}{(2n-1)(4n+1)} $$ Llamar a este límite superior $U(n)$. Tenemos $$ \dfrac{1}{\sum_{i=n}^{2n} \dfrac{1}{i^2} } \ge \dfrac{1}{U(n)} = 2 n - \dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{4(n+1)} > 2 n - \dfrac{5}{2}$$

Para el límite inferior, considere la posibilidad de $$ g(i) = \int_{i-1/2}^{i+1/2} \left( \dfrac{1}{t^2} - \dfrac{1}{4t^4}\right)\; dt = \dfrac{4 (4 i^2 - 16 i - 1)}{(4 i^2 - 1)^2} $$ Ahora $$ \dfrac{1}{i^2} - g(i) = \dfrac{64 i^3 - 4 i^2 + 1}{(4 i^2-1)^2 i^2} > 0$$ para $i \ge 1$. Así $$ \sum_{i=n}^{2n} \dfrac{1}{i^2} \ge \int_{n-1/2}^{2n+1/2} \left(\dfrac{1}{t^2} - \dfrac{1}{4t^4}\right)\; dt = {\frac {8 \left( n+1 \right) \left( 96\,{n}^{4}-48\,{n}^{3}-32\,{ n}^{2}+5\n+1 \right) }{3 \left( 2\n - 1 \right) ^{3} \left( 4\,n+1 \right) ^{3}}} $$ que voy a llamar a $L(n)$. Ahora $$\dfrac{1}{L(n)} - (2n - 2) = -{\frac {384\,{n}^{5}-1760\,{n}^{4}+584\,{n}^{3}+492\,{n}^{2}-62 \,n-13}{ 8 \left( n+1 \right) \left( 96\,{n}^{4}-48\,{n}^{3}-32\,{n}^{2 }+5\n+1 \right) }} $$ cual es negativo para $n \ge 5$ (usted puede verificar el uso del teorema de Sturm que el numerador y el denominador no tienen ceros para $n \ge 5$). Por lo tanto $$\dfrac{1}{\displaystyle \sum_{i=n}^{2n} \dfrac{1}{i^2}} < 2n-2 \ \text{for}\ n \ge 5$$