El método de separación de variables

Question

¿Puede alguien explicarme por qué funciona el método de separación de variables para PDE homogéneas lineales? Gracias

Answer 1

"Separación de variables" tiene dos totalmente diferentes significados, que no tienen nada que ver uno con otro.

(i) Un general de la educación a distancia es de la forma $y'=f(x,y)$ donde $f$ es una función arbitraria de dos variables $x$, $y$. A veces, esta función no es tan arbitraria, sino que es un producto de dos funciones, dependiendo únicamente de la $x$, resp., en $y$: $$y'=g(x) h(y)\ .$$ En este caso la escritura formalmente $y'={dy\over dx}$ puede "separar las variables $x$ e $y$" y obtener la ecuación $${1\over h(y)}\ dy\ =\ g(x)\ dx\ .$$ Hay un cierto procedimiento formal de integración a la izquierda con respecto a $y$ y en la derecha con respecto a $x$ que finalmente produce todas las soluciones de la educación a distancia. La prueba de que esto funciona no es del todo intuitivo.

(ii) Dada una lineal homogénea de la PDE en varias variables, decir: dos variables $x$ e $t$ que juntos gama de más de un tal vez infinito rectángulo en el $(x,t)$-plano, se puede plantear la pregunta de si existen "soluciones especiales" $f$ de la forma $f(x,t)=X(x)\cdot T(t)$. Para $f$ ser una solución especial será necesario que $X(\cdot)$ e $T(\cdot)$ satisfacer ciertas lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias , que son fáciles de resolver. Cuando tienes la suerte de obtener una gran bolsa llena de tales soluciones especiales $f_\lambda(x,t)=X_\lambda(x)T_\lambda(t)$, $\ \lambda\in\Lambda$.

Ahora es una característica fundamental de la lineal homogénea de los sistemas de cualquier tipo que cualquier combinación lineal de soluciones conocidas es de nuevo una solución. De ello se sigue que cualquier función de $u$ de la forma $$u(x,t)=\sum_{\lambda\in\Lambda} c_\lambda X_\lambda(x)T_\lambda(t)$$ es una solución de la EDP. Por lo tanto, tiene sentido para tratar de determinar los coeficientes $c_\lambda$ de tal manera que las demás condiciones (en particular, las condiciones de contorno o condiciones iniciales) presentes en el problema se cumplen así.