Logré mostrar que el límite existe, pero no sé cómo calcularlo.
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Hay términos iniciales:$a_1=1$ y$a_2=2$.
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Martin R
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Con $b_n = \log a_n$ (como se sugiere en un comentario) la fórmula de iteración se convierte en $$ b_{n+2} = \frac 12 (b_n + b_{n+1}) \, . $$
Computación en la primera iteración numérica lleva a la conjetura que la secuencia converge a $(b_0 + 2b_1)/3\, $.
Por lo tanto definimos $$ b := \frac{b_0 + 2b_1}3 \, , \quad c := \frac{b_1 - b_0}3 \, . $$ Entonces $$ b_0 = b - 2c \,, \quad b_1 = b + c \\ b_2 = b - \frac c2\,, \quad b_3 = b + \frac c4 \\ b_4 = b - \frac c8\,, \quad b_5 = b + \frac c{16} \\ $$ y en general $$ b_n = b + \frac{(-1)^{n-1}c}{2^{n-1}} $$ De ello se sigue que $$ \lim_{n \to \infty} b_n = b = \frac{b_0 + 2b_1}3 $$ y por lo tanto $$ \lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt[3]{a_0 a_1^2} $$ En su caso ($a_0 = 1$, $a_1 = 2$) el límite es de $2^{2/3} \approx 1.587401$.
celtschk
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13058
Al observar la secuencia, primero vemos que si$a_n' = \alpha a_n$ y$a_{n+1}' = \alpha a_{n+1}$, luego también$a_{n+2}' = \alpha a_{n+2}$, y por lo tanto también para el límite$a := \lim_{n\to\infty}a_n$ tenemos$a' = \alpha a$. Por lo tanto, podemos escribir$$a = a(a_1, a_2) = a_1 a(1, a_2/a_1) =: a_1 f(a_2/a_1).$ $ Ahora, ¿qué propiedades tiene$f$? Bueno, por supuesto, podemos comenzar la secuencia en cada posición, por lo tanto tenemos$$f(x) = a(1, x) = a(x, \sqrt{x}) = x a(1, x^{-1/2}) = xf(x^{-1/2}).$ $ También podemos ver que si$a_n' = a_n^\alpha$ y$a_{n+1}' = a_{n+1}^{\alpha}$, entonces también $a_{n+2}' = a_{n+2}^\alpha$%, y por lo tanto $$f(x^\alpha) = f(x)^\alpha.$ $ Por lo tanto, tenemos$$f(x) = xf(x^{-1/2}) = x(f(x))^{-1/2}$ $ y, por lo tanto,$$f(x)^{3/2} = x \implies f(x) = x^{2/3}$ $ Por lo tanto, tenemos$$a = a_1 f(a_2/a_1) = a_1 \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{\frac23} = a_1^{1/3} a_2^{2/3}.$ $ en particular, con$a_1=1$ y$a_2=2$ obtenemos% PS
