Lo que en realidad está sucediendo es algo más parecido a esto:
![Approximation of circular orbital motion using the velocity Verlet method]()
Aquí, $x_0$ $v_0$ son la posición inicial y la velocidad de la luna, $a_0$ es la aceleración experimentada por la luna debida a la gravedad en $x_0$, e $\Delta t$ es un pequeño paso de tiempo.
En la ausencia de gravedad, la luna viajaría a la velocidad constante de $v_0$, lo que se mueva una distancia de $v_0 \Delta t$ durante el primer paso, como se muestra por la flecha desde el círculo verde al rojo. Sin embargo, a medida que se mueve la luna es también la caída por gravedad. Por lo tanto, la distancia real que recorre, suponiendo que la aceleración de la gravedad se mantiene aproximadamente constante, es $v_0 \Delta t + \frac12 a_0 \Delta t^2$ además de algunos de orden superior en términos causada por el cambio en la aceleración a lo largo del tiempo, que yo te abandono.
Sin embargo, la luna de velocidad es también cambiando debido a la gravedad. Suponiendo que el cambio en la aceleración de la gravedad es aproximadamente lineal, la nueva velocidad de la luna, cuando está en el círculo azul marcado su nueva posición $x_1$ después de que el primer paso de tiempo, es $v_1 = v_0 + \frac12(a_0 + a_1)\Delta t$. Por lo tanto, después de que el primer paso de tiempo, la luna ya no mueve horizontalmente hacia el círculo gris, pero de nuevo lo largo del círculo tangente hacia el lugar marcado con el segundo círculo rojo.
En el segundo paso de tiempo, la luna de nuevo comienza a avanzar hacia el siguiente círculo rojo, pero cae en el círculo azul debido a la gravedad. En el proceso, su velocidad también cambia, por lo que ahora se mueve hacia el tercer círculo rojo, y así sucesivamente.
La cosa clave a tener en cuenta es que, como la luna se mueve a lo largo de su trayectoria circular, la aceleración debida a la gravedad es siempre ortogonal a la de la luna velocidad. Así, mientras la luna del vector de velocidad de los cambios, su magnitud no.
Ps. Por supuesto, la imagen que dibujó y describió anteriormente, con sus discretos pasos de tiempo, es sólo una aproximación de la verdadera física, donde la posición, la velocidad y la aceleración de la luna cambian continuamente a lo largo del tiempo. Si bien es una aproximación válida, en el sentido de que recuperar el correcto diferencial de las ecuaciones de movimiento a partir de ella, si tomamos el límite de $\Delta t$ tiende a cero, es en ese sentido ni más ni menos válida que la de cualquier otra aproximación, de los cuales hay infinitamente muchos.
Sin embargo, no me acaba de tirar de la particular aproximación me mostró por encima de un sombrero. Lo elegí porque en realidad corresponde a un muy buen método de resolver numéricamente tales ecuaciones de movimiento, conocido como la velocidad del método de Verlet. Lo genial acerca de la Verlet método es que es un simpléctica integrador, lo que significa que conserva una cantidad que se aproxime a la energía total del sistema. En particular, esto significa que, si utilizamos la velocidad de Verlet aproximación para simular el movimiento de la luna, que en realidad va a permanecer en una órbita estable, incluso si el paso de tiempo es bastante grande, como lo es en la imagen de arriba.
