Deje $T=\frac{1}{i}\frac{d}{dt}$ definido en el dominio $\mathcal{D}(T)$ que consta de todas las funciones absolutamente continuas $f \in L^2[0,1]$ para que $f(0)=0=f(1)$. Más precisamente, $f \in \mathcal{D}(T)\subset L^2[0,1]$ es una clase de equivalencia de funciones de la misma.e. con un elemento $\tilde{f}$ de la clase de equivalencia que es absolutamente continua en $[0,1]$ con $\tilde{f}'\in L^2[0,1]$. A continuación, $T$ es cerrado y densamente definido. No es difícil comprobar que $T$ es simétrica:
$$
(Tf,g)-(f,Tg) = \frac{1}{i}\int_{0}^{1}f'\overline{g}+f\overline{g}'dt=\left.\frac{1}{i}f\overline{g}\right|_{0}^{1} = 0.
$$
El resolvent ecuación es $(T-\lambda I)f=g$, lo que significa que
$$
f'-i\lambda f=ig,\;\;\; f(0)=0=f(1).
$$
El uso de un factor de integración $e^{-i\lambda t}$ y el hecho de que $f(0)=0$ debe mantener, se puede ver que es necesario:
$$
\frac{d}{dt}(fe^{-i\lambda t})=e^{-i\lambda t}ig \\
f(x)e^{-i\lambda x} = \int_{0}^{x}e^{-i\lambda t}ig(t)dt
$$
Sin embargo, esta es una solución real iff
$$
\int_{0}^{1}e^{-i\lambda t}g(t)dt = 0.
$$
Así que no hay $\lambda\in\mathbb{C}$ para que una solución de la resolvent ecuaciones se pueden encontrar para todos los $g$. Por lo tanto,$\sigma(T)=\mathbb{C}$.
