Mostrar un cociente$\mathbb{Z}$ módulo es gratis

Question

En Fulton "Introducción a Tóricas de Variedades" se utiliza en varias ocasiones en el hecho siguiente.

Deje $\sigma$ ser fuertemente convexa racional poliédrica cono en un entramado $N$ y deje $N_{\sigma}$ ser el subgrupo generado por los elementos en $\sigma\cap N,$ lo $N_{\sigma} = (\sigma \cap N) + (-\sigma \cap N).$ Entonces $N/N_{\sigma}$ es un entramado finito (rango libre de $\mathbb{Z}$-módulo).

Tengo la sospecha de una muestra que $N_{\sigma}$ es saturada subgrupo de $N,$, lo que significa lo siguiente: Si $u\in N$ e $m\in \mathbb{Z}$ son tales que $mu\in N_{\sigma},$ entonces $u\in N_{\sigma}.$, lo que Muestra esto implica $N/N_{\sigma}$ es de torsión libre y, por tanto, libre. Pero todavía no puedo probar el resultado.

He aquí un intento fallido:

Si $np\in N_{\sigma}$ entonces $np=s_1 - s_2$ para algunos $s_i\in \sigma\cap N,$ y, por tanto, $p = m^{-1}s_1 - m^{-1} s_2.$ Seguro, $p$ es de $\sigma$ y $N,$ $m^{-1}s_i$ están en $\sigma$ e $s_i\in N,$, pero también tenemos que garantizar la $m^{-1}s_i$ es $N$ si queremos deducir el resultado necesario de esta manera. De hecho, incluso no parece ser el caso, a menos que el $s_i$ son primitivos (los componentes de la dpc 1).

Yo no estoy viendo una solución a esto. Por favor me ayude.

Answer 1

Seamos completamente claro sobre lo que usted necesita. Quiere mostrar que $N/N_{\sigma}$ es de torsión libre. Los elementos de $N/N_{\sigma}$ son los cosets $u+N_{\sigma}$ donde $u$ es de $N.$ la acción de La $n\in \mathbb{Z}$ a $u+N_{\sigma}$ envía a $nu + N_{\sigma}.$ Un elemento de torsión es un elemento de $N/N_{\sigma}$ de manera tal que hay un no-cero $n\in \mathbb{Z}$ tal que $n(u+N_{\sigma}) = nu + N_{\sigma}$ es el elemento cero de $N/N_{\sigma}.$ Lo que es verdadero si y sólo si $nu \in N_{\sigma}.$ por Lo que quieren mostrar que la $nu \in N_{\sigma}$ implica $nu\in N_{\sigma}.$ has demostrado que sabes para qué $u$ es de $\sigma$ o $-\sigma.$ Ahora, desde el inicio, nos conocemos $u\in N.$ Lo $u\in \sigma \cap N$ o $u\in -\sigma \cap N.$ por lo tanto $u\in (\sigma \cap N) + (-\sigma \cap N)= N_{\sigma},$ que es lo que quieres.

Answer 2

No creo que hablamos de grasas saturadas conos $\sigma$, pero saturado de semi-grupos. La declaración es que $N \cap \sigma$ es saturada, lo que es claro por la definición de $\sigma$ ($\sigma$ es racional cono, y por tanto si $np \in \sigma \cap N$, para algunas de las $p \in N$,, a continuación, $np=\sum c_i\rho_i$ donde $c_i \geq 0$ e $\rho_i$ son los generadores de cono. Pero, a continuación,$p=\sum (\frac{c_i}{n}) \rho_i$, lo $p \in \sigma$). Ahora, esto implica que $N_\sigma$ es saturada, como un subgrupo así.

Así que vamos a $\bar{q}$ representa a cualquier elemento de torsión en $N/N_\sigma$. A continuación, $nq \in N_\sigma$ para algunos $n$. Pero $N_\sigma$ es saturada, por lo $q \in N_\sigma$. I. e. $\bar q = 0$ en $N/N_\sigma$. Por lo $N/N_\sigma$ es de torsión libre.