Siendo el conjunto vacío el ejemplo trivial de un conjunto que es su propia potencia cartesiana, quiero saberlo:
¿Existen conjuntos no vacíos que sean su propio producto binario cartesiano?
Suponiendo que se utilice la definición habitual de Kuratowski de pares ordenados, esto es imposible por el axioma de regularidad. Nótese que el rango del par ordenado $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$ es mayor que los rangos de ambos $x$ y $y$ (concretamente, es $\max(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(y))+2$ ). Así que si $X$ es un conjunto no vacío y $x\in X$ es un elemento de rango mínimo, cada elemento de $X\times X$ tiene un rango mayor que el rango de $x$ . En particular, $x\not\in X\times X$ Así que $X\neq X\times X$ .
Si no se asume el axioma de regularidad, entonces es consistente que haya conjuntos no vacíos $X$ tal que $X=X\times X$ . Por ejemplo, es coherente que exista un conjunto $X$ tal que $X=\{X\}$ y por lo tanto $$X\times X=\{(X,X)\}=\{\{\{X\}\}\}=\{\{X\}\}=\{X\}=X.$$
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En realidad, has planteado aquí dos preguntas completamente diferentes cuyas respuestas no tienen nada que ver (tu pregunta principal y la del último párrafo). Le sugiero que las plantee en mensajes separados.
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@EricWofsey ¡Gracias por tu sugerencia!