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Integral de productos de cosenos.

Dado $m+1$ enteros $\alpha_0,\ldots,\alpha_m\geq 1$, yo estaba tratando de obtener una buena cerrada de la fórmula de la integral $$ \int_0^\pi\cos(\alpha_1\theta)\cdots\cos(\alpha_m\theta)d\theta. $$ Más precisamente, yo estaba tratando de contar el número de $m$-uplets $(\alpha_1\ldots,\alpha_m)$ con $1\leq \alpha_1\leq\ldots\leq\alpha_m\leq n$ tal que las más integral es distinto de cero.

Al $m=1$, esto es fácil debido a la ortogonalidad relación $$ \frac{2}{\pi}\int_0^\pi\cos(\alpha_0\theta)\cos(\alpha_1\theta)d\theta=\;\boldsymbol 1_{\alpha_0=\alpha_1}, $$ y por lo tanto el número de este tipo de soluciones es $\boldsymbol 1_{\alpha_0\leq n}$, que es el número de maneras de partición de la $\alpha_0$ en un entero positivo menor que $n$.

Si uno ve que en lugar de la integral $$ \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{i\alpha_0\theta}e^{-i\alpha_1\theta}\cdots e^{-i\alpha_m\theta} d\theta $$ a continuación, el número de soluciones es el número de maneras de partición de la $\alpha_0$ a $m$ números enteros más pequeños que $n$. Yo era de alguna manera el salto que un tipo similar de solución de aparecer por el coseno integral, pero tal vez es demasiado optimista ...

Cualquier idea para el caso general, con la cosenos ? O una referencia ? He tratado de usar de forma inductiva la fórmula trigonométrica $cos(a)cos(b)=\frac{1}{2}(cos(a+b)+\cos(a-b))$, pero no veo ninguna estructura que aparece.

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andre Puntos 1062

La pregunta si esta integral es cero, es uno de los problemas clásicos dados en el libro de Garey y Johnson, Computadoras e intratabilidad, 1979. pág. 252. Se llama AN14 y con el límite superior de la integral$NP$ en lugar de$2\pi$.

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